¿Qué es un conjunto de supuestos mínimos necesarios para interpretar la relatividad general?

El próximo semestre, voy a dar una conferencia sobre (las matemáticas de) la relatividad general y todavía estoy pensando mucho en cómo organizar y, lo que es más importante, cómo motivar todo el material.

Me pregunto qué suposiciones mínimas debo hacer sobre los objetos y sus relaciones para poder interpretar las fórmulas y su relación con la física newtoniana clásica. Debería explicar más:

Creo que la suposición de que el espacio-tiempo está modelado por una variedad M diferenciable de cuatro dimensiones está bien y es fácil de motivar. También estoy de acuerdo con suponer que tenemos una conexión afín en la variedad porque se puede medir moviendo una partícula (cuántica) con espín a lo largo de un circuito cerrado y comparando la dirección del espín (y la posición/fase relativa para la torsión) antes y después de ir a través del bucle.

Entonces podemos suponer que la holonomía de la conexión afín se encuentra dentro del grupo de Poincaré (porque no medimos ninguna otra holonomía). Usando esto, podemos transportar en paralelo una métrica de Lorentz elegida en un espacio tangente a otro espacio tangente, por lo que obtenemos una variedad de Lorentz. (Por lo general, los textos sobre relatividad general comienzan con una variedad lorentziana, pero no explican de dónde debe provenir la medición de longitudes y ángulos: una barra es en sí misma un objeto físico complicado).

Ahora, teniendo tal variedad, podemos escribir la curvatura de Riemann y el tensor de torsión. Para simplificar, supongamos que la torsión desaparece por el momento. Dada la curvatura de Riemann, podemos contraerla y escribir el tensor de Einstein G. Ahora las ecuaciones de campo de Einstein se pueden expresar como una definición: "El tensor de Einstein G es el tensor de tensión-energía", es decir, G nos dice dónde medimos asunto.

Matemáticamente esto está bien (y en realidad no tiene contenido). Sin embargo, desde el punto de vista de la física, queremos ser capaces de interpretar la materia así definida (o el tensor tensión-energía para ser más precisos) como lo que normalmente se considera materia (o densidad de masa o presión o tensión). ¿Qué otros insumos necesito para lograr esto?

¿Tengo que agregar la ecuación geodésica para partículas de prueba en caída libre, por ejemplo, o esto ya se desprende de mis definiciones (es decir, las ecuaciones de campo) anteriores (por supuesto, uno tiene que relacionar una partícula de prueba con el término materia)? ?

Soy consciente de la interpretación geométrica de la ecuación de campo de Einstein, que relaciona la traza del tensor de tensión-energía con la segunda derivada del cambio de volumen de una bola de partículas de ensayo en caída libre. Para usar esto, primero se deben conocer las ecuaciones de movimiento de las partículas de prueba en caída libre. Además, hay que comparar con el cambio de volumen en el límite newtoniano. Pero, ¿cómo obtendríamos entonces las partes dependientes de la presión en la traza del tensor de tensión-energía, porque la gravedad newtoniana depende solo de la masa (la parte 00)?

¿Realmente quieres usar un espín de partículas cuánticas para demostrar la conexión afín en GR? ¿No estropearán la explicación las medidas discretas de los componentes de espín (y la no conmutatividad de los diferentes componentes)?
@twistor59: podría usar valores esperados en lugar de valores experimentales discretos y aún así estar bien (pero no veo la ventaja de decir 'cuántico' más allá de no perder la generalidad)
Re geodésicas para partículas de prueba, consulte Ehlers y Geroch, arxiv.org/abs/gr-qc/0309074v1 . Es posible que desee considerar adoptar un enfoque más físico. Por ejemplo, asumo que algún subconjunto de sus suposiciones matemáticas equivale al principio de equivalencia, pero ¿cuál subconjunto? Re medición, basta con tener un reloj más partículas de prueba; para algunas buenas presentaciones elementales de esto, vea Laurent, Introducción al espacio-tiempo, o Geroch, General Relativity from A to B.
@BenCrowell: ¿no es una de las versiones del principio de equivalencia simplemente declarable como "las partículas de prueba siguen las geodésicas de una variedad semi-riemannaiana"?
Además, no entiendo qué hay que "agregar" sobre las ecuaciones geodésicas dada una métrica y una conexión (aunque tenga en cuenta que las partículas de prueba NO siguen las geodésicas si la torsión es distinta de cero). Todo eso ya está ahí en esas dos cosas.
@twistor59: Para poder medir la conexión afín, creo que necesito al menos algo de física que se base en vectores y puntos en mi variedad de espacio-tiempo. Las partículas elementales (incluso si se supone que son objetos clásicos pero solo del tamaño del punto) es lo que tenemos. Solo la mecánica no me dice sobre el transporte paralelo de vectores (lo mejor que podría esperar de una barra que no dependa de fuerzas no gravitatorias es que ambos extremos viajen sobre geodésicas, y esto no me dará la parte de torsión de la conexión).
@JerrySchirmer: Lo siento si fui demasiado descuidado con la ecuación del movimiento de las partículas de prueba en el espacio-tiempo con torsión. El tipo específico de ecuación es de menor importancia; lo más importante es si tengo que motivar una en primer lugar o si puedo derivarla. (Aparte de eso, tengo que pensar un poco más en las líneas de mundo de las partículas en el espacio-tiempo con torsión; tal vez sean proyecciones de geodésicas en el haz de fibras de principio SO(1, 3) asociado (en el sentido de la geometría de Cartan).
@JerrySchirmer: Puedes tener el principio de equivalencia en muchos sabores diferentes. Fuerte, débil,... Ver arxiv.org/abs/0707.2748 .
@BenCrowell: bueno, sí. Por eso dije "una de las versiones de" arriba. La mayoría de ellos se satisfacen describiendo la gravedad utilizando la curvatura métrica.
+1 para la referencia: Ver arxiv.org/abs/0707.2748.

Respuestas (1)

Sé que esto no es un conjunto "mínimo" de suposiciones para agregar, pero si vas a interpretar GRAMO a b = 8 π GRAMO T a b como algo que tiene que ver con la "materia ordinaria", debe comenzar con una formulación lagrangiana donde tiene:

S = ∫ | gramo | d 4 X 1 dieciséis π GRAMO R + 2 Λ + L METRO

dónde L METRO representa la densidad lagrangiana de la materia ordinaria. Entonces, el cálculo de variaciones te da la ecuación de Einstein, y la interpretación de "materia ordinaria" de T a b es trivial

En cuanto a la comparación con el límite newtoniano, la única forma real de hacerlo es el adorado y temido formalismo posnewtoniano, en el que se expande perturbativamente en correcciones relativistas a las leyes de Newton, como se ve en este artículo además de cualquier libro de texto GR . Rápidamente se pone muy feo, ya que empiezas a tener efectos como la fuerza propia que aparece en términos que tienen factores como 567849 98478433 , pero las personas que estudian las ondas gravitacionales utilizan estas técnicas con bastante regularidad.

Y debo agregar que el (antiguo) libro de Weinberg tiene una discusión muy motivada físicamente de PPN, donde muestra cuidadosamente lo que significan los parámetros y compara GR con la teoría newtoniana.
También he estado pensando en usar el enfoque Euler-Lagrangiano para GR (que da nociones de impulso, corriente, etc. de forma gratuita), pero este enfoque se basa menos en la interpretación física y más en las matemáticas, ¿no es así? Creo que también hay una diferencia filosófica: cuando definimos la energía de tensión de la materia simplemente como el tensor de Einstein (hasta las constantes), las ecuaciones de campo simplemente se convierten en una definición (como uno puede hacer que el potencial gravitatorio en la física newtoniana sea el principal objeto y definir la densidad de masa como su Laplaciano) y la cuestión no es cómo resolverlos, sino a...
... encontrar más teorías físicas que interpreten el tensor de tensión-energía resultante. En el enfoque lagrangiano habitual, obtenemos una ecuación, la ecuación EL, que tenemos que resolver (y tuvimos que poner la materia Lagrangiana correcta en la ecuación desde el principio). (Bueno, tal vez la diferencia es menor de lo que he estado pensando... En la formulación lagrangiana, podemos simplemente tomar la materia lagrangiana como un indeterminado, lo que no dará una ecuación para resolver, sino instrucciones sobre cómo tendrá que resolverse ese término de la materia. busque una conexión afín dada).
@Marc: en una teoría real, el asunto lagrangiano será una cosa real definida tan bien como en cualquier otro lugar. Es genial estudiar, por ejemplo, la ecuación de Einstein-Klein Gordon, estableciendo L METRO = ∇ a ϕ ∇ a ϕ − metro 2 ϕ 2
Y en este caso, la materia tendrá que satisfacer su propia ecuación de movimiento. Simplemente no puede escribir eso sin especificar el contenido del asunto.
Después de haberlo analizado a fondo, estoy de acuerdo en que el enfoque de Lagrange es probablemente el mejor; También acepté tu respuesta. PD: ¿Conoces una buena referencia para un término de materia lagrangiana para un fluido perfecto?
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