Derivación de la ecuación para la desviación geodésica

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Derivación de la ecuación para la desviación geodésica

usuario164828

Estoy tratando de averiguar el cálculo que conduce a la desviación geodésica en este sitio . Hasta ahora entendí todos los pasos hasta (14.7) y logré demostrar que (14.6) = (14.7), a saber

{\ddot{ξ}}^{α} + (\partial_{d} Γ_{β γ}^{α}) {\dot{X}}^{β} {\dot{X}}^{γ} ξ^{d} + Γ_{β γ}^{α} {\dot{X}}^{β} ξ^{γ} + Γ_{β γ}^{α} {\dot{X}}^{γ} ξ^{β} = \frac{d}{d τ} ({\dot{ξ}}^{α} + Γ_{β γ}^{α} {\dot{X}}^{γ} ξ^{β}) - (\partial_{d} Γ_{β γ}^{α}) ξ^{β} {\dot{X}}^{γ} {\dot{X}}^{d} - Γ_{β γ}^{α} ξ^{β} {\ddot{X}}^{γ} + (\partial_{d} Γ_{β γ}^{α}) {\dot{X}}^{β} {\dot{X}}^{γ} ξ^{d} + Γ_{β γ}^{α} {\dot{X}}^{β} {\dot{ξ}}^{γ}

$\ddot\xi^\alpha + \left( \partial_\delta \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} \right) \dot x^\beta \dot x^\gamma \xi^\delta + \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} \dot x^\beta \xi^\gamma + \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} \dot x^\gamma \xi^\beta \\ = \frac{d}{d\tau} \left( \dot \xi^\alpha + \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} \dot x^\gamma \xi^\beta \right) - \left( \partial_\delta \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} \right) \xi^\beta \dot x^\gamma \dot x^\delta - \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} \xi^\beta \ddot x^\gamma + \left( \partial_\delta \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} \right) \dot x^\beta \dot x^\gamma \xi^\delta + \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} \dot x^\beta \dot \xi^\gamma$

Hasta ahora, todo bien. Después de "reordenar los términos y con los índices ficticios reetiquetados adecuadamente, obtenemos lo siguiente"

\frac{D^{2} ξ^{α}}{D τ^{2}} + (\partial_{γ} Γ_{β d}^{α} - \partial_{d} Γ_{β γ}^{α} + Γ_{β d}^{ϵ} Γ_{ϵ γ}^{α} - Γ_{β γ}^{ϵ} Γ_{ϵ d}^{α}) {\dot{X}}^{β} ξ^{γ} {\dot{X}}^{d}

$\frac{D^2 \xi^\alpha}{D\tau^2} + \left( \partial_\gamma \Gamma^\alpha_{\beta\delta} - \partial_\delta \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} + \Gamma^\epsilon_{\beta\delta} \Gamma^\alpha_{\epsilon\gamma} - \Gamma^\epsilon_{\beta\gamma} \Gamma^\alpha_{\epsilon\delta} \right) \dot x^\beta \xi^\gamma \dot x^\delta$

No pude mostrar la igualdad de esto y (14.7). He usado la ecuación geodésica para deshacerme de la $\ddot x$ y usado

\frac{D^{2} ξ^{α}}{D τ^{2}} = \frac{D}{D τ} ({\dot{X}}^{σ} \nabla_{σ} ξ^{α}) = {\dot{X}}^{ρ} \nabla_{ρ} ({\dot{X}}^{σ} \nabla_{σ} ξ^{α}) = {\ddot{ξ}}^{α} + Γ_{ρ d}^{α} {\dot{X}}^{ρ} {\dot{ξ}}^{d} + (\partial_{ρ} Γ_{σ γ}^{α}) {\dot{X}}^{σ} ξ^{γ} {\dot{X}}^{ρ} + Γ_{σ ρ}^{α} {\dot{X}}^{σ} {\dot{X}}^{ρ} + Γ_{ρ d}^{α} Γ_{σ γ}^{d} {\dot{X}}^{σ} ξ^{γ} {\dot{X}}^{ρ}

$\frac{D^2 \xi^\alpha}{D\tau^2} = \frac{D}{D\tau} \left( \dot x^\sigma \nabla_\sigma \xi^\alpha \right) = \dot x^\rho \nabla_\rho \left( \dot x^\sigma \nabla_\sigma \xi^\alpha \right) \\ = \ddot \xi^\alpha + \Gamma^\alpha_{\rho\delta} \dot x^\rho \dot \xi^\delta + \left( \partial_\rho \Gamma^\alpha_{\sigma\gamma} \right) \dot x^\sigma \xi^\gamma \dot x^\rho + \Gamma^\alpha_{\sigma\rho} \dot x^\sigma \dot x^\rho + \Gamma^\alpha_{\rho\delta} \Gamma^\delta_{\sigma\gamma} \dot x^\sigma \xi^\gamma \dot x^\rho$

con

\nabla_{σ} ξ^{α} = \frac{d ξ^{α}}{d X^{σ}} + Γ_{σ γ}^{α} ξ^{γ}

$\nabla_\sigma \xi^\alpha = \frac{d\xi^\alpha}{d x^\sigma} + \Gamma^\alpha_{\sigma\gamma} \xi^\gamma$

pero no importa lo que hice, no funcionó. Debo estar cometiendo un gran error en algún lugar a lo largo de las líneas, pero simplemente no puedo encontrarlo. Agradecería mucho alguna ayuda.

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Derivación de la ecuación para la desviación geodésica

anomalía quiral · Answer 1

Primero, tenga en cuenta que la ecuación (14.6) en la página vinculada tiene un error. En la segunda línea de la ecuación (14.6), las cantidades $\xi$ debiera ser $\dot\xi$ . La ecuación (14.7) es correcta, pero a (14.6) le faltan los puntos. Cada término en esas ecuaciones debe tener dos derivadas con respecto al parámetro de línea universal.

Esta es una forma de organizar el cálculo que facilita el seguimiento de los detalles, ya que evita introducir detalles hasta que se necesitan. Comience con la ecuación para una sola geodésica.

\begin{matrix} (1) & {\ddot{X}}^{a} = - Γ_{b C}^{a} {\dot{X}}^{b} {\dot{X}}^{C} . \end{matrix}

$\ddot x^a=-\Gamma^a_{bc}\dot x^b\dot x^c. \tag{1}$ si escribimos

δ x^{a}

$\delta x^a$ (en lugar de

ξ^{a}

$\xi^a$ ) para una variación de la geodésica, luego tomando la variación de la ecuación (1) da

\begin{matrix} (2) & d {\ddot{X}}^{a} = - 2 Γ_{b C}^{a} {\dot{X}}^{b} d {\dot{X}}^{C} - (d Γ_{b C}^{a}) {\dot{X}}^{b} {\dot{X}}^{C} . \end{matrix}

$\delta \ddot x^a =-2\Gamma^a_{bc}\dot x^b\delta \dot x^c -(\delta \Gamma^a_{bc})\dot x^b\dot x^c. \tag{2}$ asumiendo que

Γ_{b c}^{a} = Γ_{c b}^{a}

$\Gamma^a_{bc}=\Gamma^a_{cb}$ . La ecuación (2) es una versión corregida de la ecuación (14.6) en la página vinculada. Ahora, deja eso a un lado por un momento, y considera la cantidad

\begin{matrix} (3) & \frac{D^{2}}{D {tu}^{2}} d X^{a}, \end{matrix}

$\frac{D^2}{Du^2}\delta x^a, \tag{3}$ dónde

u

$u$ es el parámetro de línea de mundo (por lo que los puntos denotan derivados con respecto a

u

$u$ ) y donde

\begin{matrix} (4) & \frac{D}{D tu} v^{a} \equiv {\dot{X}}^{b} \nabla_{b} v^{a} = {\dot{v}}^{a} + Γ_{b C}^{a} {\dot{X}}^{b} v^{C} \end{matrix}

$\frac{D}{Du}v^a \equiv \dot x^b\nabla_b v^a = \dot v^a+\Gamma^a_{bc}\dot x^b v^c \tag{4}$ para cualquier vector

v

$v$ . Expanda (3) lo suficiente para exponer el

δ \ddot{x}

$\delta\ddot x$ término, así:

\begin{aligned} \frac{D^{2}}{D {tu}^{2}} d X^{a} & = \frac{d}{d tu} (\frac{D}{D tu} d X^{a}) + Γ_{b C}^{a} {\dot{X}}^{b} (\frac{D}{D tu} d X^{C}) \\ (5) & = d {\ddot{X}}^{a} + \frac{d}{d tu} (Γ_{b C}^{a} {\dot{X}}^{b} d X^{C}) + Γ_{b C}^{a} {\dot{X}}^{b} (\frac{D}{D tu} d X^{C}) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{D^2}{Du^2}\delta x^a &= \frac{d}{du}\left(\frac{D}{Du}\delta x^a\right) + \Gamma^a_{bc}\dot x^b\left(\frac{D}{Du}\delta x^c\right) \\ &= \delta\ddot x^a + \frac{d}{du}\left(\Gamma^a_{bc}\dot x^b\delta x^c\right) + \Gamma^a_{bc}\dot x^b\left(\frac{D}{Du}\delta x^c\right) \tag{5} \end{align}$ Sustituye (2) en (5) para obtener

\begin{matrix} (6) & \frac{D^{2}}{D {tu}^{2}} d X^{a} = \frac{d}{d tu} (Γ_{b C}^{a} {\dot{X}}^{b} d X^{C}) + Γ_{b C}^{a} {\dot{X}}^{b} (\frac{D}{D tu} d X^{C}) - 2 Γ_{b C}^{a} {\dot{X}}^{b} d {\dot{X}}^{C} - (d Γ_{b C}^{a}) {\dot{X}}^{b} {\dot{X}}^{C} . \end{matrix}

$\frac{D^2}{Du^2}\delta x^a = \frac{d}{du}\left(\Gamma^a_{bc}\dot x^b\delta x^c\right) + \Gamma^a_{bc}\dot x^b\left(\frac{D}{Du}\delta x^c\right) -2\Gamma^a_{bc}\dot x^b\delta \dot x^c -(\delta \Gamma^a_{bc})\dot x^b\dot x^c. \tag{6}$ Antes de expandir más las cosas, recuerde que esperamos que los términos que involucran

δ \dot{x}

$\delta\dot x$ cancelar. Con solo inspeccionar la ecuación (6), podemos verificar que esos términos se cancelan. Después de descartar esos términos, la ecuación (6) se convierte en

\begin{matrix} (7) & \frac{D^{2}}{D {tu}^{2}} d X^{a} = \frac{d}{d tu} (Γ_{b C}^{a} {\dot{X}}^{b}) d X^{C} + Γ_{b C}^{a} {\dot{X}}^{b} (Γ_{d mi}^{C} {\dot{X}}^{d} d X^{mi}) - (d Γ_{b C}^{a}) {\dot{X}}^{b} {\dot{X}}^{C} . \end{matrix}

$\frac{D^2}{Du^2}\delta x^a = \frac{d}{du}\left(\Gamma^a_{bc}\dot x^b\right)\delta x^c + \Gamma^a_{bc}\dot x^b\left(\Gamma^c_{de}\dot x^d\delta x^e\right) -(\delta \Gamma^a_{bc})\dot x^b\dot x^c. \tag{7}$ Ahora usa

δ Γ_{b c}^{a} = \partial_{d} Γ_{b c}^{a} δ x^{d}

$\delta \Gamma^a_{bc}=\partial_d\Gamma^a_{bc}\delta x^d$ Llegar

\begin{matrix} (9) & \frac{D^{2}}{D {tu}^{2}} d X^{a} = \frac{d}{d tu} (Γ_{b C}^{a} {\dot{X}}^{b}) d X^{C} + Γ_{b C}^{a} {\dot{X}}^{b} (Γ_{d mi}^{C} {\dot{X}}^{d} d X^{mi}) - (\partial_{d} Γ_{b C}^{a} d X^{d}) {\dot{X}}^{b} {\dot{X}}^{C} . \end{matrix}

$\frac{D^2}{Du^2}\delta x^a = \frac{d}{du}\left(\Gamma^a_{bc}\dot x^b\right)\delta x^c + \Gamma^a_{bc}\dot x^b\left(\Gamma^c_{de}\dot x^d\delta x^e\right) -(\partial_d\Gamma^a_{bc}\delta x^d)\dot x^b\dot x^c. \tag{9}$ El siguiente paso es reescribir el lado derecho usando un solo factor de

δ x

$\delta x$ , que requiere volver a etiquetar un par de índices. A partir de ahí, mostrar que el lado derecho se puede escribir en términos del tensor de curvatura debería ser relativamente sencillo, porque la mayoría de los demás detalles ya se han eliminado.

Derivación de la ecuación para la desviación geodésica

usuario164828

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