La curvatura del espacio-tiempo depende de la velocidad relativa

Comience considerando la gravedad newtoniana ordinaria. Esto nos dice que la aceleración de una masa de prueba debido a nuestro planeta de masa$M$es:

$$a = \frac{GM}{r^2}$$

La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad con el tiempo. Un objeto que se mueve rápido pasa menos tiempo cerca del planeta que un objeto que se mueve lentamente, por lo que su velocidad cambia menos. Eso significa que los objetos que se mueven rápidamente se desvían menos que los que se mueven lentamente.

Dado que la relatividad general se reduce a la gravedad newtoniana cuando los campos gravitatorios son pequeños (es decir, en cualquier lugar que no esté cerca de un agujero negro), esto también explica por qué los objetos que se mueven rápidamente se desvían menos que los que se mueven lentamente en GR.

Mostrar esto rigurosamente implica algo de geometría diferencial, pero creo que es posible comprender el principio sin involucrarse demasiado en las matemáticas. La trayectoria seguida por la masa de prueba en caída libre se describe mediante la ecuación geodésica :

$$\frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} = -\Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}U^\mu U^\nu \tag{1}$$

Esto no es tan complicado como parece (bueno, ¡no del todo!). El lado izquierdo es una especie de aceleración, y los símbolos$\Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}$son los símbolos de Christoffel que describen cuán curvo es el espacio-tiempo. En el espacio-tiempo plano usando el habitual$(t,x,y,z)$coordenadas, los símbolos de Christoffel son todos cero y nuestra ecuación se convierte en:

$$\frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} = 0$$

lo que simplemente nos dice que en el espacio-tiempo plano la aceleración es cero, es decir, el objeto viaja en línea recta.

En el espaciotiempo curvo, los símbolos de Christoffel no son cero, por lo que obtenemos una aceleración distinta de cero y la trayectoria será curva, pero aún debemos explicar por qué la trayectoria es diferente para diferentes velocidades. Eso se debe simplemente al término$U^\mu$, que es la de cuatro velocidades .

Entonces, la ecuación geodésica dice (a) que la ruta no es una línea recta en un espacio-tiempo curvo y (b) que la cantidad en la que la ruta se curva depende de las cuatro velocidades$\mathbf U$de la masa de prueba. Es por eso que las masas de prueba que se mueven a diferentes velocidades siguen caminos diferentes.

No es cierto que haya una geodésica única a través de cada punto. Para entenderlo, imagine un punto en una esfera (donde las geodésicas son solo grandes círculos) o incluso en un plano (aquí las geodésicas son líneas rectas). A través de ese punto puede dibujar un número infinito de geodésicas, por ejemplo, un número infinito de líneas rectas que pasan por este punto. Sin embargo, si restringe a una pequeña parte de su espacio geométrico (sin embargo, no es necesario hacerlo en caso plano), la geodésica se especificará de manera única especificando dos puntos cercanos que debe conectar. Si dibujas un pequeño círculo en una pelota, eliges dos puntos dentro, entonces puedes elegir exactamente una trayectoria que va en un gran círculo que pasa por esos dos puntos sin salir de este círculo. Dado que dos puntos cercanos cualesquiera especifican una trayectoria única, puede considerar un límite en el que su separación se acerque a cero.$\vec x (t)$y$\vec x (t+ \mathrm d t)$, o de manera equivalente, tanto la posición como la velocidad en el tiempo inicial.

Además, la curvatura que sientes cuando haces un viaje en un espacio curvo puede, y generalmente dependerá de la dirección en la que vayas (que en términos de espacio-tiempo utilizados en GR es exactamente la misma que tu velocidad). Para ver esto, considere un insecto dando vueltas alrededor de una silla de montar. Hay algunas direcciones que se curvan "hacia arriba", algunas direcciones que se curvan "hacia abajo" y por continuidad debe existir una dirección intermedia en la que el sillín no se curva en absoluto. Lo animo a que intente dibujar esto en una hoja de papel, o simplemente busque en Google "punto de silla" y entre en gráficos.

El efecto de atracción depende del tiempo durante el cual las dos masas están en proximidad. Puedes experimentar enviando una pelota a través de una caída de agua o un flujo de agua a diferentes velocidades y observa la dirección que toma la pelota después de cruzar el agua.

La representación de la curvatura del espacio-tiempo mediante un plano deformado alrededor de un planeta es una farsa. Intenta representar un agujero en el espacio, ¡solo por diversión! El espacio-tiempo tiene cuatro dimensiones: 3 para el espacio más una para el tiempo.

Puede experimentar el espacio-tiempo al medir una caja con una vara de medir: mueva el objeto y la vara: 1: a la misma velocidad relativa 2: a diferente velocidad relativa Cuando el primer límite de la caja esté frente al cero de la vara, miras el valor de la medida en el palo donde está el segundo límite de la caja.

¿Cuál es la longitud de la caja en el caso 1 y en el caso 2?