¿Puede una curvatura en el tiempo (y no en el espacio) causar aceleración?

En general, no tiene sentido hablar de curvatura solo en el espacio o solo en el tiempo.

La geometría de un espacio-tiempo es descrita por la métrica. Normalmente comenzamos con alguna distribución de materia/energía y resolvemos las ecuaciones de Einstein para calcular la métrica. Alternativamente, puede comenzar con la métrica deseada y usar las ecuaciones de Einstein para determinar qué distribución de materia/energía se necesita para crearla, aunque la mayoría de las veces terminará con una distribución de materia no física (por ejemplo, requiere materia exótica) .

De todos modos, la métrica es un objeto independiente de coordenadas: es el mismo independientemente del sistema de coordenadas que use. Sin embargo, para escribir una representación de la métrica (generalmente como una matriz de 4 x 4) debe elegir un sistema de coordenadas (con una temporal y tres espaciales) y solo cuando hace esto puede comenzar a hablar de curvatura en coordenadas .

El problema es que puede haber muchas opciones diferentes de sistemas de coordenadas para describir el mismo espacio-tiempo. Incluso el humilde agujero negro estático sin carga se puede describir usando las coordenadas de Schwarzschild, las coordenadas de Gullstrand-Painleve, las coordenadas de Eddington-Finkelstein, las coordenadas de Kruskal-Szekeres y probablemente muchas otras que no conozco. Entonces, la coordenada temporal que elija, y la curvatura asociada con ella, no será la misma que la coordenada temporal que podrían elegir otros relativistas generales.

Por lo tanto, es posible que pueda encontrar alguna opción de coordenadas que esté curvada solo en la dirección del tiempo. Pero alguien más que use un sistema de coordenadas diferente podría encontrar que la curvatura está en las coordenadas espaciales o, más probablemente, en las coordenadas temporales y espaciales. En todos los casos, cualquier curvatura hará que un objeto en movimiento libre se acelere.

Entonces, si pregunta ¿Puede una curvatura en el tiempo (y no en el espacio) causar aceleración? entonces la respuesta es sí , pero esta es una respuesta algo vacía porque su condición de curvatura en el tiempo (y no en el espacio) es una declaración sobre su sistema de coordenadas y no sobre la geometría del espacio-tiempo.

En primer lugar, no estoy del todo seguro de lo que está preguntando o de lo que está pensando como curvatur. Ciertamente, hay sistemas de coordenadas que no son euclidianos que no se consideran "curvos". Por ejemplo, las coordenadas cilíndricas estándar tienen una curvatura de Riemann cero, pero tienen un "aspecto curvo".

Sin embargo, mi opinión es que en GR tienes un sistema de coordenadas que tiene 4 coordenadas. También tienes un tensor métrico.$g$que describe/determina algunas propiedades de este sistema de coordenadas, como la longitud de arco.

Sin ponerse demasiado matemático, piense en una hoja de papel. siendo la vertical del papel la coordenada de tiempo y la horizontal del papel una coordenada espacial. Ahora enrolla el papel para que la coordenada del espacio sea como la superficie redonda del cilindro. Hay una métrica g para describir eso. Pero si quisieras hacer lo mismo para que la coordenada de tiempo se convirtiera en la parte redonda del cilindro, también hay una métrica para describir eso. Por cierto, ninguno de estos espacios es realmente curvo en el sentido de la curvatura de Reimann, pero algunas personas inicialmente supondrían que lo eran.

Pero imagine que el cilindro es como un tubo de goma y lo dobla como una rosquilla,

Ahora, si dibuja dos líneas "rectas" alrededor de la rosquilla en una dirección, permanecerán paralelas a la misma distancia. Pero en la otra dirección no lo hacen.

¿Significa esto curvatura... no necesariamente? Lo que determina la curvatura, creo, no es que las líneas se acerquen o se separen por así decirlo, sino que la velocidad a la que se acercan o se separan no es constante. Entonces, para hacer eso, creo que tendrías que hacer la dona algo así como más oblonga o aplastada. Esto está relacionado con la 'desviación geodésica' y se caracteriza por el tensor de Reimann que está determinado por la métrica g.

La desviación geodésica constituye básicamente una analogía con la aceleración. Entonces, ¿puede tener aceleración (desviación) en la dirección del tiempo y no en la dirección del espacio o viceversa? mmm....

... tengo problemas para verlo con precisión desde la geometría, pero me inclinaré por el no. Si algo está acelerando en el espacio en relación a mí, la forma en que transcurre el tiempo en comparación con mi tiempo tampoco sería constante. Entonces, si algo se acelera en el tiempo, al menos uno de los componentes espaciales de la velocidad tendría que estar cambiando en la teoría de Einstein, porque sus 4 velocidades en general son c en relatividad.