Momento de inercia significado?

Question

Momento de inercia significado?

Física
momento de inercia
mecanica-newtoniana
dinámica de cuerpo rígido
dinámica-rotacional

Alejandro Ruño

¿Por qué la fórmula para calcular el momento de inercia es esta integral?

\int r^{2} d metro ?

$\int r^2 dm~?$ Entiendo la forma en que derivamos esta fórmula al observar la distribución de energía cinética de un objeto giratorio. Yo creo que la mecánica clásica debe tener sentido intuitivo, y que todo en cada fórmula tiene una razón, es como es y no otra cosa (repito, en la mecánica clásica). La inercia (rotacional), tal como la entiendo, nos dice cuán "difícil" es rotar un objeto alrededor de un eje perpendicular. Yo simplemente no veo por qué

\int r^{2} d m

$\int r^2 dm$ dinos eso.

Por ejemplo, el centro de masa, fórmula similar pero tiene mucho más sentido (para mí)

\sum_{i = 1}^{norte} {metro}_{i} r_{i},

$\sum_{i=1}^n m_i r_i,$ porque cuanta mas masa

i

$i$ -ésima componente de masa tiene, cuanto más cerca esté el centro de masa de ese punto en particular, y también cuanto más lejos esté una masa dada de nuestro origen, más lejos estará el centro de masa, todo esto es perfectamente lógico y cada parte de la fórmula tiene mucho sentido, pero en el caso del momento de inercia simplemente no puedo ver por qué

\int r^{2} d m

$\int r^2 dm$ me dice lo difícil que es girar.

GedankenExperimentista

Para mí, la forma más intuitiva de pensarlo es en términos de energía, L=mrv, v=wr, L=(mr)(rw), por lo tanto, L=mwr^2, ya que cuanto mayor es r, mayor es la distancia. cala, por lo tanto más el trabajo realizado.

Respuestas (2)

Momento de inercia significado?

Para mí, la forma más intuitiva de pensarlo es en términos de energía, L=mrv, v=wr, L=(mr)(rw), por lo tanto, L=mwr^2, ya que cuanto mayor es r, mayor es la distancia. cala, por lo tanto más el trabajo realizado.

rodrigo · Answer 1

Intuitivamente, puede pensarlo de esta manera: el momento de inercia mide qué tan difícil es cambiar el momento angular del objeto .

Ahora, el momento angular de un punto único punto de masa $i$ es:

\vec{L_{i}} = r_{i} \times {metro}_{i} \vec{v_{i}}

$\vec{L_i} = r_i \times m_i \vec{v_i}$

Para hacer que este punto gire más rápido, debe aplicar algo de torsión. La parte de la masa es fácil, y una de las $r_i$ está ahí también.

Pero tenga en cuenta el efecto de $r_i$ en cómo el torque afecta la velocidad: cuanto más lejos esté el punto del centro de rotación (mayor $r_i$ ), entonces el menor efecto del par es a la velocidad $v_i$ . Esto se debe a que este punto necesita más velocidad lineal para obtener la misma velocidad angular.

El efecto neto es que el momento de inercia es proporcional al cuadrado de $r_i$ : uno $r_i$ porque así es como se mide el momento angular y otra porque la velocidad lineal se ve afectada por esta cantidad.

Una forma más matemática, pero no muy estricta, de verlo es con la analogía entre el momento lineal y angular. Tenga en cuenta que estas ecuaciones son para una sola partícula:

\vec{PAG} = metro \vec{v}

$\vec{P} = m \vec{v}$

\vec{L} = I \vec{ω}

$\vec{L} = I \vec{\omega}$

Pero también, por definición:

\vec{L} = \vec{r} \times metro \vec{v}

$\vec{L} = \vec{r} \times m \vec{v}$

\vec{ω} = \frac{\vec{r} \times \vec{v}}{| \vec{r} |^{2}}

$\vec{\omega} = {\vec{r} \times \vec{v} \over |\vec{r}|^2}$

Entonces

I \frac{\vec{r} \times \vec{v}}{| \vec{r} |^{2}} = \vec{r} \times metro \vec{v}

$I {\vec{r} \times \vec{v} \over |\vec{r}|^2} = \vec{r} \times m \vec{v}$

simplificar ambos $\vec{r} \times \vec{v}$ y mueve la distancia al cuadrado:

I = | \vec{r} |^{2} metro

$I = |\vec{r}|^2 m$

Ahora que tiene el momento de inercia para una sola partícula de masa, integre sobre todo su cuerpo y obtendrá su ecuación original.

probablemente_alguien · Answer 2

Prefiero pensar en ello desde el punto de vista de que un objeto extendido es una distribución de masa, algo así como una distribución de probabilidad en estadística.

Un momento es un número (generalmente una suma o integral) que describe la forma de una distribución. Si tiene todos los momentos, puede reconstruir completamente la distribución. El $n^\textrm{th}$ momento de una distribucion $\rho(x)$ se calcula tomando

\int ρ (X) X^{norte} d X

$\int\rho(x)x^n dx$

Si hacemos la sustitución $\rho(x)dx=dm$ , donde llevamos $\rho(x)$ para ser la densidad de un objeto, obtenemos que el momento cero es $\int dm=m$ , la masa total del objeto. El primer momento de una distribución es su media, por lo que el primer momento te dice, en extrañas unidades, la "posición promedio" de un objeto (es decir, la posición de su centro de masa, escalado por la masa total). El segundo momento de una distribución, $\int \rho(x)x^2 dx$ , le dice esencialmente qué tan "dispersa" está la distribución con respecto a su media. Notarás que el segundo momento $\int \rho(x)x^2 dx=\int x^2 dm$ es el momento de inercia, que tiene sentido intuitivo; cuanto más "extendido" esté el objeto, más difícil será girarlo.

Entonces, el momento de inercia obtuvo su nombre porque es el segundo momento de la distribución masiva.

Momento de inercia significado?

Alejandro Ruño

GedankenExperimentista

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rodrigo

probablemente_alguien

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