¿Cuál es el problema de tener un tensor de inercia que no satisface la desigualdad del triángulo?

Los principales momentos de inercia de un cuerpo rígido se obtienen a partir de estas ecuaciones:

$$I_1=\int_V\,(x_2^2+x_3^2)\,\rho\,dV$$ $$I_2=\int_V\,(x_3^2+x_1^2)\,\rho\,dV$$ $$I_3=\int_V\,(x_1^2+x_2^2)\,\rho\,dV$$

dónde$x=x_1~,y=x_2~,z=x_3$y el tensor de inercia es:

$$I= \left[ \begin {array}{ccc} I_{{1}}&0&0\\ 0&I_{{2}}&0 \\ 0&0&I_{{3}}\end {array} \right]$$

con

$$i_\alpha=\int_V\,x_\alpha^2\,\rho\,dV> 0~,\alpha=1,2,3$$ de este modo: $$I_1=i_2+i_3$$ $$I_2=i_3+i_1$$ $$I_3=i_1+i_2$$

y

$$I_1+I_2=i_1+i_2+2\,i_3=I_3+2\,i_3 > I_3$$ $$I_2+I_3=2\,i_1+i_2+i_3=I_1+2\,i_1 > I_1$$ $$I_3+I_1=i_1+2\,i_2+i_3=I_2+2\,i_3 > I_2$$

por lo tanto, la desigualdad del triángulo es una característica física de un tensor de inercia de cuerpo rígido. Si el cuerpo rígido es simétrico, entonces los ejes de simetría son ejes principales y el momento principal de inercia debe obedecer a la desigualdad del triángulo, de lo contrario, no describe el cuerpo rígido que desea describir.

La desigualdad del triángulo para el momento del tensor de inercia en última instancia se deriva de la positividad de la masa de inercia (como se muestra en la respuesta de Eli ). Un cuerpo cuyo tensor de inercia no satisfaga las desigualdades del triángulo necesariamente tendría alguna región donde$\rho < 0$.

Entonces podríamos considerar este cuerpo como compuesto por dos sub-cuerpos, uno con masa de inercia estrictamente positiva$m_1 > 0$y uno con masa de inercia estrictamente negativa$m_2 < 0$. Cualquier fuerza interna entre estos cuerpos daría como resultado que estos dos subcuerpos aceleraran en la misma dirección espontáneamente : las fuerzas internas en$m_1$y$m_2$actuarían en direcciones opuestas, según la Tercera Ley de Newton, pero sus vectores de aceleración apuntarían en la misma dirección debido a sus diferentes signos de masa.

Estas "soluciones desbocadas" generalmente se consideran malas. Las únicas lagunas que veo son (a) abandonar la Tercera Ley de Newton, pero eso entristecería a Emmy Noether; o (b) exigir que estos subcuerpos nunca ejerzan ninguna fuerza neta entre sí, lo que sería problemático si queremos que el cuerpo sea rígido.

Es útil observar los tensores de inercia en la base esférica, en los que los tensores de base son tensores propios de rotaciones sobre el eje z. Así que en lugar de considerar 3 x 3 = 9$T_{ij}$para yo, j$\in (x, y, z)$, on tiene 1 + 3 + 5 = 9 estados básicos de la siguiente manera:

$T^{(0)} = \frac{1}{3}T_{ii}\ {\bf I}$

es esféricamente simétrica y proporcional a la identidad. Como tensor de inercia, corresponde a una esfera.

La parte antisimétrica de un tensor:

$T^{(1)} = A_{ij} \equiv \frac{1}{2}(T_{ij}-T_{ji})$

se transforma como un vector (muy parecido a un producto cruzado), y NO TIENE LUGAR en los tensores de inercia. Hay 3 componentes.

Finalmente, la parte simétrica libre de trazas tiene 5 componentes:

$T^{(2)} = S_{ij} \equiv \frac{1}{2}(T_{ij}+T_{ji})) - T^{(0)}$

que se transforman como armónicos esféricos:$Y_{l=2}^m\ \ (\theta, \phi)$para$m \in\ (-2, -1, 0, 1, 2)$.

El$|m|=1$componentes:

$T^{(2, m=\pm 1)}\ \ \ \ = S_{xz} \pm i S_{yz}$

se puede diagonalizar mediante una rotación de coordenadas adecuada dejando:

$l=2, m=0$:

$T^{(2, 0)} \ \ = \sqrt{\frac{1}{2}} S_{zz}$

Esta parte corresponde a la ablación/alargamiento del objeto; entonces, para un elipsoide, eso sería con la excentricidad con el eje de simetría alineado con el eje z.

$l=2, |m|=2$:

$T^{(2, m=\pm 2)} \ \ \ \ \ = \frac{1}{2}(S_{xx} - S_{yy} \pm 2iS_{xy})$

Para los tensores de inercia, m=2 y m=-2 son iguales, por lo que las componentes cartesianas son reales. Esta parte de los tensores corresponde a cualquier asimetría cilíndrica , por lo que es cero para un elipsoide de revolución.