Pregunta

¿Cómo se puede calcular el trabajo realizado por la fricción sobre un cuerpo rígido?

Numerosas preguntas y respuestas en este intercambio tratan sobre el trabajo realizado por fricción. En mi opinión, algunas de las preguntas/respuestas anteriores causan confusión por cómo se refieren a la fricción que calienta un objeto sin mayor elaboración. Por ejemplo, consulte la breve discusión sobre "calentamiento" en la primera respuesta de la pregunta conceptual complicada: bola deslizándose y rodando por una pendiente. En realidad, la fricción aumenta la energía interna ("calienta") un cuerpo. Sin embargo, la mayoría de los tratamientos de fricción en la mecánica elemental asumen un cuerpo rígido, y para un cuerpo rígido, la fricción no puede cambiar su energía interna. Un tratamiento de calentamiento requiere un aplicación de la primera ley de la termodinámica; sin embargo, muchas de las preguntas en este sitio que tratan sobre el trabajo realizado por la fricción se pueden responder asumiendo un cuerpo rígido. Por ejemplo, la primera respuesta a la pregunta anterior para una pelota que se desliza por una pendiente implícitamente trata la pelota como un cuerpo rígido; por lo tanto, contrariamente a la respuesta, no hay efectos de calentamiento.Trato una pelota que se desliza por una pendiente en detalle más adelante en el ejemplo n. ° 2 en mi respuesta detallada a continuación.

Resumo un enfoque coherente proporcionado por @user256872 en la siguiente respuesta .

Mi respuesta

Resumen

La fricción da como resultado el "calentamiento" de un cuerpo, o más exactamente, un aumento en la energía interna de un cuerpo. Sin embargo, una gran cantidad de problemas mecánicos tratan al cuerpo como un “cuerpo rígido”. En un cuerpo rígido, por definición, las partículas siempre mantienen una posición fija entre sí y se mueven solo con el cuerpo como un todo. Por lo tanto, no puede haber disipación de energía dentro de un cuerpo verdaderamente rígido.

Para un sistema de partículas, siempre es cierto que$\vec F = M \vec a_{CM}$y eso$\vec \tau = { {d\vec J} \over {dt}}$(para rotación alrededor de un punto fijo o el centro de masa para movimiento general).$\vec F$es la fuerza externa neta,$M$es la masa del sistema,$\vec a_{CM}$es la aceleración del centro de masa,$\vec \tau$es el par externo neto, y$\vec J$es el momento angular. Sin embargo, si$\vec J$como tomado como$\tilde I \cdot \vec \omega$(o$J = I \omega$para la rotación en un plano), donde$\tilde I$es el tensor de inercia y$\vec \omega$es la velocidad angular, esto es específico de un cuerpo rígido porque el tensor de inercia se desarrolla suponiendo un cuerpo rígido. (Ver un texto de mecánica física, como Symon, Mechanics o Goldstein, Classical Mechanics). Por lo tanto, las evaluaciones que utilizan$J = I\omega$asume implícitamente un cuerpo rígido. Algunas valoraciones que utilizan$J = I\omega$, como una respuesta en la publicación anterior, a la que se hace referencia en la sección Pregunta anterior, afirma que la fricción causa calentamiento, lo cual es incorrecto; la fricción solo provoca un cambio en la energía cinética, como se explica en mi respuesta detallada a continuación.

Creo que una respuesta de @ user256872 a una pregunta anterior proporciona la clave para abordar los efectos de la fricción en un cuerpo rígido. Este enfoque evalúa el trabajo realizado por la fricción segregando ese trabajo en dos partes: trabajo para el movimiento de traslación y trabajo para el movimiento de rotación; A continuación, se incluye una discusión detallada sobre este enfoque, en la que se elabora el enfoque utilizado por @user256872, y se plantean algunas preguntas de seguimiento.

Discusión detallada

suposiciones

Para simplificar, la discusión se restringe a las siguientes condiciones. Considero un cuerpo rígido en movimiento plano. Considero movimiento donde no hay un punto fijo para la rotación, o el punto fijo de rotación es el centro de masa (CM); No considero la rotación sobre un punto fijo que no sea el CM.

Para un cuerpo rígido, no hay disipación interna de energía y por lo tanto la fricción no provoca efectos de “calentamiento”; todo el trabajo sobre el cuerpo debido a la fricción cambia la energía cinética total del cuerpo. La energía cinética total del cuerpo es la energía cinética del CM más la energía de rotación sobre el CM:${1 \over 2} mv^2 + {1 \over 2} I \omega^2$, dónde$m$es la masa total,$v$es la velocidad del CM,$I$es el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el CM, y$\omega$es la velocidad angular con respecto al centro de masa. El movimiento del CM se obtiene por la primera ley:$\vec F = m \vec a$dónde$\vec F$es la fuerza externa neta,$m$es la masa total y$\vec a$es la aceleración del CM. La rotación sobre el CM, incluso si el CM está acelerando, se obtiene por$\vec \tau = I \vec \alpha$dónde$\vec \tau$es el par neto sobre el CM y$\vec \alpha$es la aceleración angular con respecto al CM. El trabajo realizado (por todas las fuerzas) es igual al cambio en la energía cinética total.

Trabajo por fricción

Basado en la respuesta anterior de @user256872, para una fuerza de fricción$\vec F_{fric}$, el trabajo realizado por la fricción es$\int \vec F_{fric} \cdot\vec vdt$+$\int \vec \tau_{fric} \cdot\vec \omega dt$dónde$\vec v$es la velocidad del CM,$\vec \tau_{fric}$es el momento de torsión sobre el CM debido a la fuerza de fricción, y$\vec \omega$es la velocidad angular con respecto al CM. El trabajo realizado por la fricción tiene dos términos: el trabajo realizado por la fricción en el CM,$\int \vec F_{fric} \cdot\vec vdt$, y el trabajo realizado por la fricción con respecto al CM ,$\int \vec \tau_{fric} \cdot\vec \omega dt$. Para ciertas situaciones, la suma de estos dos términos es cero y la fricción no funciona, mientras que para otras situaciones, la suma de estos dos términos no es cero y la fricción sí funciona. El trabajo realizado por la gravedad sobre un cuerpo es$-mg \Delta z$dónde$g$es la aceleración de la gravedad y$\Delta z$es el aumento (positivo hacia arriba) en la elevación del CM. (Este trabajo generalmente se trata como el negativo del cambio en la energía potencial$mg \Delta z$.) Para los siguientes ejemplos, el trabajo realizado por la fricción en el CM se simplifica a$\int F_{fric} dx$dónde$x$es el desplazamiento a lo largo de la dirección de la fuerza de fricción, y el trabajo realizado por la fricción con respecto al CM se simplifica a$\int \tau_{fric} d \theta$dónde$\theta$es la distancia angular con respecto al CM.

1. Rodar sin resbalar

Considere un cuerpo redondo (esfera, cilindro, etc.) que rueda por un plano inclinado, comenzando en reposo, como se muestra en la siguiente figura.

Suponga que el cuerpo rueda sin deslizarse. Textos básicos de física, evalúe este caso usando las ecuaciones de movimiento y trabajo/energía, y muestre que la energía total en la parte inferior de la pendiente es la misma usando cualquier enfoque. Para este caso de rodamiento puro de un cuerpo rígido, la fricción no realiza trabajo, como a veces se explica por el hecho de que no hay movimiento relativo (deslizamiento) entre el punto de contacto del cuerpo y la superficie del plano inclinado. La única fuerza que realiza trabajo sobre el cuerpo es la gravedad, por lo que la energía total en la base del plano inclinado es$mgh = {1 \over 2}mv^2 + {1 \over 2}I \omega^2$. Como el cuerpo rueda sin resbalar,$\omega = v/R$, y$mgh = {1 \over 2}mv^2 + {1 \over 2}I v^2/R^2$. La energía cinética total se reparte entre la energía cinética del CM y la energía de rotación alrededor del CM. Dado que solo la gravedad realiza trabajo, la energía cinética total es la misma que en el caso de un plano inclinado sin fricción,$mgh$, excepto sin fricción, la energía cinética total es la energía cinética del CM y la energía de rotación alrededor del CM es cero. Entonces, para la fricción de rodadura pura, al contrario del caso sin fricción, aunque la fricción no produce trabajo, hace que la energía cinética del CM disminuya y la energía de rotación alrededor del CM aumente. Esto se explica considerando los dos términos del trabajo realizado por la fricción. El trabajo de fricción sobre el CM es$-\int F_{fric} dx$, negativo ya que la fricción se opone al movimiento x; el trabajo por rozamiento con respecto al CM es$\int \tau_{fric} d \theta = \int F_{fric}R dx/R$, dónde$d \theta = dx/R$sin deslizamiento. El primer término disminuye la energía cinética del CM y el segundo término aumenta la energía rotacional sobre el CM, pero la suma de los términos es cero ya que el trabajo neto realizado por la fricción es cero. Aunque la fricción no genera trabajo en total, el trabajo total tiene dos componentes; un componente disminuye la energía cinética del CM y el otro componente aumenta la energía de rotación alrededor del CM. Para rodar sin deslizar, la suma de las dos componentes es cero.

2. Rodando con deslizamiento

A continuación, considere el caso en el que el cuerpo resbala al rodar por la pendiente. Aquí la fuerza de fricción sí funciona, como a veces se explica por el hecho de que existe un movimiento relativo entre el punto de contacto del cuerpo y la pendiente debido al deslizamiento. Este caso se puede evaluar usando las ecuaciones de movimiento; ver Analytical Mechanics de Fowles, y también esta publicación . Para el deslizamiento, el coeficiente de fricción,$\mu$, No debe exceder${\tan\theta} \over{1 + (RM/I)^2}$, de lo contrario, la carrocería rueda sin resbalar. Resolviendo las ecuaciones de movimiento, el tiempo para llegar a la parte inferior de la pendiente$t_1$es$\sqrt{{2h} \over {gsin\theta (sin\theta - \mu cos\theta)}}$dónde$\mu$es el coeficiente de fricción cinética. La velocidad$v$del CM en la parte inferior es$\sqrt{{2gh(sin\theta - \mu \cos\theta)} \over {sin\theta}}$, y la velocidad angular$\omega$en la parte inferior está${\mu mgR \over{I}}\sqrt{{2h} \over {gsin\theta(sin\theta - \mu sin\theta)}}$. Usando estos resultados, la energía cinética total en la parte inferior$1/2 mv^2 + 1/2 I \omega^2 = mgh - mgh {\mu cos \theta \over sin \theta} + {5 \mu^2mghcos^2 \theta \over 2sin \theta(sin \theta - \mu cos \theta)}$. La energía cinética total en la parte inferior del plano inclinado también se puede evaluar considerando el trabajo realizado sobre el cuerpo debido a la gravedad y los dos términos para el trabajo realizado por fricción. Usando este enfoque, la energía cinética total en el fondo para el caso de deslizamiento es$mgh -\int_{0}^{h \over sin \theta} F_{fric} dx + \int_{0}^{\theta_f} \tau_{fric} d \theta$. (Aquí debido a un desliz$d \theta \ne dx/R$.)$\theta_f = {1 \over 2} \alpha t_1^2$dónde$\alpha$es la aceleración angular.$F_{fric} = \mu mgcos(\theta)$y$\tau_{fric} = RF_{fric}$ambos son constantes. Después de evaluar las integrales, la energía cinética total en la parte inferior es la misma que se evaluó previamente usando las ecuaciones de movimiento. Aquí, la fricción realiza trabajo debido al deslizamiento, porque la porción de trabajo negativo sobre el CM es mayor en magnitud que la porción de trabajo positivo que causa la rotación alrededor del CM. El movimiento que se acaba de describir está de acuerdo con el movimiento desarrollado en una respuesta para esta publicación , pero, contrariamente a una afirmación en la respuesta para esta publicación anterior, no hay efectos de calentamiento involucrados en la explicación de este movimiento.

3. Tirando de una polea

Como ejemplo trivial, considere una polea que gira alrededor de un eje fijo en el marco inercial a través de su CM, con masa$m$y momento de inercia$I$, como se muestra en la siguiente figura.

La rotación se debe a tensiones desiguales.$T_2$mas grande que$T_1$en una cuerda que provoca rotación. El eje proporciona una fuerza de restricción.$\vec F_c$hacia arriba igual en magnitud a$T_2 – T_1 + mg$para mantener el CM fijo. La fricción entre la cuerda y la polea, suponiendo que no haya deslizamiento, provoca la rotación, por lo tanto, las fuerzas de tensión pueden considerarse como fuerzas de fricción en la polea. Suponiendo que no hay movimiento de rotación inicial, usando la ecuación de movimiento de la polea después de un tiempo$t_1$, la distancia angular total recorrida es$\theta_f = {{(T_2 – T_1)Rt^2} \over{2I}}$, y la energía de rotación es${(T_2 – T_1)^2R^2t_1^2}\over {2I}$. Usando la relación de dos términos para el trabajo por fricción, el primer término, para la energía cinética del CM, es cero ya que no hay movimiento del CM debido a la fuerza de restricción. El segundo término es la energía cinética de rotación alrededor del CM hasta el tiempo$t_1$es$\int_{0}^{\theta(t_1)} (T_2 – T_1)R d \theta = (T_2 – T_1) R \theta_f$. Usando el resultado anterior para$\theta_f$, este es el mismo resultado obtenido de la ecuación de movimiento para la rotación.

Resumen

En conclusión, el trabajo realizado por la fricción se puede evaluar segregando ese trabajo en dos partes; este enfoque proporciona información sobre los efectos de la fricción en el movimiento de traslación y rotación. De nuevo, este enfoque se basa en la respuesta anterior de @user256872. Se agradecen los comentarios sobre este enfoque.

Pseudotrabajo y Trabajo

Otras preguntas/respuestas sobre este intercambio y en la literatura discuten la diferencia entre el trabajo como se define en la mecánica (a veces llamado pseudotrabajo) y el trabajo como se define en la termodinámica. Ver Pseudotrabajo y trabajo real Sherwood, Bruce Arne The American Journal of Physics , Volumen 51 (7) - 1 de julio de 1983 . El concepto de pseudoobra me parece útil.

Algunas preguntas a considerar

1. Para el primer ejemplo con rodamiento sin deslizamiento, una explicación para que la fricción no produzca trabajo (neto) es que hay deslizamiento (sin movimiento relativo) del punto de contacto del cuerpo en la pendiente. Sin embargo, para el último ejemplo donde la fricción impulsa la polea tampoco hay movimiento relativo, pero aquí la fricción funciona. ¿Significa esto que la ausencia de deslizamiento no implica siempre la ausencia de trabajo por fricción?

2. ¿Cómo se puede extender este enfoque para evaluar el trabajo por fricción al movimiento tridimensional general de un cuerpo rígido donde se necesita el tensor de inercia?

3. Para la mecánica de fluidos, si el calentamiento por fricción no causa un cambio apreciable en la temperatura de un fluido, la ecuación de energía de Bernoulli se puede modificar para incluir una pérdida de "cabeza" por fricción para tener en cuenta la fricción; para un cambio apreciable de temperatura, la evaluación es compleja, requiriendo la primera ley y las relaciones de cantidad de movimiento. Para el caso de sólidos que experimentan fricción, ¿hay un enfoque aproximado (similar al Bernoulli modificado para fluidos) que se pueda usar?

4. ¿Dónde podemos encontrar discusiones sobre cómo evaluar el calentamiento por fricción de sólidos usando un enfoque tanto aproximado como detallado?