¿Qué es la ecuación de energía de Navier-Stokes?

Estoy tratando de comprender los conceptos básicos de la dinámica de fluidos y las ecuaciones de Navier-Stokes siguiendo el libro breve Una introducción matemática a la dinámica de fluidos de Chorin y Marsden (soy un matemático aplicado, no un físico, así que tenga paciencia conmigo . Además, no estaba seguro de si esta pregunta era más adecuada para MSE o PSE. Elegí aquí).

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Tal como lo entiendo, para determinar de manera única las tres cantidades importantes en un problema de mecánica de fluidos que son$\mathrm u$,$P$y$\rho$, se necesitan cinco ecuaciones, una para cada componente de$\mathrm u$(que se puede escribir como una sola ecuación vectorial, reduciendo nuestro número de ecuaciones a 3), y dos más para los escalares$P,\rho$. Para obtener estas tres ecuaciones, necesitamos tres condiciones físicas. Ellos son

• Conservación de la masa
• Conservación de momento
• Conservacion de energia

Quiero derivar estas tres ecuaciones en la forma más general posible. Lo que quiero decir con eso es que nuestro fluido puede ser

• comprimible ($\nabla\cdot\mathrm u\neq0$)
• viscoso ($\mu,\lambda\neq0$)
• vórtice ($\nabla\times\mathrm u\neq0$)
• Sujeto a efectos termodinámicos

La parte más fácil es la conservación de la masa. Una breve derivación mostrará que la conservación de la masa se puede describir matemáticamente a través de la ecuación de continuidad,

$$\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho~\mathrm u)=0\tag{1}$$

La conservación del impulso es considerablemente más difícil, pero después de un poco de trabajo pude llegar finalmente a

$$\rho\frac{D\mathrm u}{Dt}=-\nabla P+\nabla\cdot \boldsymbol{\tau}+\mathrm{F}\tag{2A}$$

Dónde,

• $D/Dt=\partial_t +\mathrm u\cdot\nabla$es la derivada material,
• $\mathrm{F}$denota cualquier fuerza externa ($\mathrm{F}=0$en un sistema aislado),
• $\boldsymbol{\tau}$es el tensor de tensión desviador, un$(1,1)$tensor

definido como

$$\boldsymbol{\tau}=\lambda\mathbf{I}~\nabla\cdot\mathrm u+\mu\big(\nabla\mathrm u+(\nabla\mathrm u)^{\mathrm T}\big)$$ Dónde$\mathbf I$es la identidad,$\mu$es la viscosidad dinámica, y$\lambda$es la viscosidad aparente. usando la identidad$\nabla\cdot(\nabla\mathrm u)^{\mathrm T}=\nabla(\nabla\cdot\mathrm u)$podemos expandir esta ecuación para llegar a

$$\rho(\partial_t\mathrm u+\mathrm u\cdot\nabla\mathrm u)=-\nabla P+(\lambda+\mu)\nabla(\nabla\cdot\mathrm u)+\mu\boldsymbol{\triangle}\mathrm u+\mathrm F\tag{2B}$$

Esta ecuación se da en la página 33 del texto vinculado.

Sin embargo, la conservación de la energía todavía se me escapa. La NASA parece tener una fórmula publicada, pero solo se proporciona en el caso especial de las coordenadas cartesianas, y preferiría una representación sin coordenadas. Esta página ofrece una descripción sin coordenadas:

$$\partial_t\left[\rho~\left(e+\frac{|\mathrm u|^2}{2}\right)\right]+\nabla\cdot\left[\rho\mathrm u~\left(e+\frac{|\mathrm u|^2}{2}\right)\right]=\nabla\cdot(k\nabla T-P\mathrm u+\boldsymbol{\tau}\cdot\mathrm u)+\mathrm u\cdot\mathrm F+\mathcal{Q}\tag{3}$$

Pero no ofrecen una derivación, ni siquiera explican qué significan los símbolos.$e,k,\mathcal Q$significar. Mi suposición (?) es que$k$es algún tipo de difusividad térmica,$e$es una función de posición y tiempo y te dice algo sobre la energía interna o potencial, y$\mathcal{Q}$es alguna fuente de calor externa. ¿Tengo razón? Y en la mayoría de los casos sabríamos$e(\mathrm r,t)$y$T(\mathrm r,t)$como se indica, y no tener que resolverlos, ¿correcto?

Si suponemos que el fluido no tiene energía térmica ni potencial , la energía se puede escribir como puramente cinética:

$$E_{\text{tot}}=\frac{1}{2}\int_{\Omega(t)}\rho(\mathrm r,t)~|\mathrm u(\mathrm r,t)|^2~\mathrm d\mu(\mathrm r)$$ Aquí$\Omega(t)$es la región que ocupa nuestro fluido en el tiempo$t$. Usando el teorema del transporte , se puede llegar a $$\frac{\mathrm d E_{\text{tot}}}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_{\Omega(t)}\rho |\mathrm u|^2\mathrm d\mu=\int_{\Omega(t)}\rho\mathrm u\cdot\frac{D\mathrm u}{Dt}\mathrm d\mu$$ Entonces parecería que una restricción suficiente para la conservación de la energía en este caso es

$$\rho\mathrm u\cdot\frac{D\mathrm u}{Dt}=0\implies \mathrm u\cdot\big(\partial_t\mathrm u+\mathrm u\cdot\nabla\mathrm u\big)=0\tag{4}$$

Que es una forma ligeramente modificada de la bien conocida ecuación de Burgers.

Pero, ¿y si hay energía térmica y cinética? ¿Qué puedo hacer entonces? ¿Alguien puede ayudarme a derivar y dar sentido a la ecuación?$(3)$, y reducirlo a$(4)$en un caso especial?

Muchas gracias.

EDITAR: Definiciones para varios usos del símbolo.$\nabla$.

Si$\mathbf{T}$es un$(r,s)$tensor, entonces defino los componentes de$\nabla \mathbf{T}$en un sistema de coordenadas con símbolos de Christoffel$\Gamma^i_{jk}$como (Usando la suma de Einstein)

$$( \nabla \mathbf{T})^{i_{1} \dotsc i_{r}}{}_{j_{1} \dotsc j_{s} \ k} =\begin{matrix} \partial _{k} T^{i_{1} \dotsc i_{r}}{}_{j_{1} \dotsc j_{s}}\\ +\Gamma _{lk}^{i_{1}} T^{l\ i_{2} \dotsc i_{r}}{}_{j_{1} \dotsc j_{s}} +\cdots +\Gamma _{lk}^{i_{r}} T^{i_{1} \dotsc i_{r-1} \ l}{}_{j_{1} \dotsc j_{s}}\\ -\Gamma _{j_{1} k}^{l} T^{i_{1} \dotsc i_{r}}{}_{l\ j_{2} \dotsc j_{s}} -\cdots -\Gamma _{j_{s} k}^{l} T^{i_{1} \dotsc i_{r}}{}_{j_{1} \dotsc j_{s-1} \ l} \end{matrix}$$

Defino las componentes de la divergencia de un$(1,s)$tensor$\mathbf{T}$como

$$(\nabla\cdot\mathbf{T})_{j_1\dots j_s}= (\nabla \mathbf{T})^i{}_{j_1\dots j_s~i}$$

Y por último defino el laplaciano de un$(r,s)$tensor como

$$(\boldsymbol{\triangle}\mathbf{T})^{i_1\dots i_r}{}_{j_1\dots j_s}=g^{kl}(\nabla(\nabla\mathbf{T}))^{i_1\dots i_r}{}_{j_1\dots j_s~kl}$$

Dónde$g^{ij}$es el$i,j$ª componente de la métrica inversa.