¿Cómo se relacionan los tensores de curvatura de Weyl & Riemann con el tensor de energía de tensión en GR?

Las ecuaciones de vacío de Einstein, es decir sin materia, permiten la posibilidad de curvatura sin materia. Por ejemplo, podemos considerar las ondas gravitacionales.

La pregunta es: ¿Existe algún vínculo entre el tensor de curvatura de Riemann y/o el tensor de Weyl y algunas cantidades "físicas" gravitatorias (como el tensor de energía de tensión o la energía total)?

Por supuesto, a primera vista, no hay un tensor de energía-tensión gravitacional covariante, por lo que parece que no hay relación, pero ¿tal vez las cosas son más sutiles?

¿Está preguntando por qué las ecuaciones relacionan solo el tensor de Ricci y el estrés-energía, pero no el tensor de Weyl? Pero ¿por qué esperar algo así? Por ejemplo, solo dos de las ecuaciones clásicas de Maxwell se acoplan con las fuentes. Puede que esta no sea una buena analogía, pero sigo pensando que podrías decir algo sobre tu motivación.
@MBN: La motivación es que, sin materia, todavía hay energía gravitacional de alguna manera (incluso si no es localizable), por lo que estaba preguntando sobre cualquier relación interesante entre el tensor de Riemann/Weyl, o las operaciones sobre ellos, y la energía gravitacional. cantidades.
En el vacío, el tensor tensión-energía es 0 por definición. Por lo tanto, para la constante cosmológica 0 , el tensor de Riemann es igual al tensor de Weyl, R a b C d = C a b C d . Wheeler exploró algunas ideas para obtener materia del vacío (busque "geones"). También puede echar un vistazo, con un grano de sal, en fqxi.org/data/essay-contest-files/…
@CristiStoica Es posible que sepa esto, pero Wheeler no fue el primero con sus "geones": William Kingdon Clifford tuvo la idea de que la materia en sí misma podría ser una curvatura en una variedad de espacio-tiempo . Debo decir, sin embargo, que los geones me parecen una idea totalmente original de Wheeler.
@WetSavannaAnimal alias Rod Vance: Es cierto que otros, incluidos Riemann, Hamilton, Clifford, intentaron describir la realidad física como una estructura geométrica e incluso se preguntaron si la materia podría ser en realidad una propiedad geométrica del espacio. Pero tenían demasiada "libertad" ( es decir, falta de información) para sacar de esto una teoría de la materia. No conocían la relatividad general, aunque ésta no sería posible sin al menos el trabajo de Riemann. Einstein también lo intentó. Mencioné los geones de Wheeler porque se basó en ondas gravitacionales, en el tensor de Weyl, como en la pregunta.
@Trimok: "existe la posibilidad de curvatura sin materia, por ejemplo, podemos considerar ondas gravitacionales". ¿Y cuál sería la fuente de estas ondas gravitatorias sin materia?
@brightmagus Una de dos cosas. En primer lugar, podría estar pensando en una región de vacío donde no hay materia, pero otra masa oscilante muy alejada de la región en consideración es la "fuente". Esto sería totalmente análogo a estudiar el campo electromagnético en el espacio vacío. A veces, pensamos en ondas planas u otras soluciones de ondas que ocupan todo el espacio incorpóreo de cualquier fuente: esta es una solución válida de las ecuaciones de Maxwell. Puede sacar conclusiones perfectamente válidas sobre un haz de luz a partir de tales modelos. Los físicos hacen cosas análogas con la EFE.
@brightmagus: Además de lo que dijo Rod, es posible que queden ondas gravitacionales primordiales del big bang. En un big bang de máxima entropía, casi toda la energía habría estado en esta forma.
Pueden pensar en lo que quieran, muchachos. Sin embargo, me gusta que las cosas que pienso en la física sean físicas. Trimok obviamente no se refiere a una determinada región solamente, porque no tendría sentido mencionar un caso tan trivial. Y en cuanto a la BB sin importar... sin comentarios...

Respuestas (2)

¿Existe algún vínculo entre el tensor de curvatura de Riemann [...] y algunas cantidades "físicas" gravitatorias*?

Tal vez podría aclarar qué quiere que califique como "físico". La curvatura es observable y la OMI es física. Proyectos como LIGO están diseñados para detectar ondas gravitacionales. Gravity Probe B fue un proyecto que logró su propósito de verificar esencialmente las predicciones de GR sobre la curvatura del espacio-tiempo en la vecindad de un cuerpo giratorio gravitatorio. En los términos más simples, la curvatura se puede medir transportando un giroscopio alrededor de un camino cerrado. Esto es esencialmente lo que hizo GPB.

Por supuesto, a primera vista, no existe un tensor de tensión-energía gravitacional covariante

Pero eso es solo una prohibición de definir una medida local de energía de ondas gravitacionales. Por ejemplo, en un espacio-tiempo asintóticamente plano, la energía ADM incluye energía que se irradia al infinito nulo por ondas gravitacionales. Si los proyectos similares a LIGO tienen éxito, medirán la energía de las ondas gravitacionales.

Estoy interesado en cualquier ejemplo detallado de una relación entre las cantidades físicas gravitatorias como la energía, la energía radiada, el tensor de tensión-energía y el tensor de Riemann/Weyl, con las ecuaciones de vacío de Einstein.
Bien, entonces creo que la segunda mitad de mi pregunta debería proporcionar un ejemplo de tal relación. Sin embargo, objetaría esta definición de "físico" como excluyente de la curvatura, por las razones dadas en la primera mitad de mi respuesta.

El primer punto a considerar es que el tensor de Riemann se puede expresar en términos del tensor de Weyl y el tensor de Ricci:

R a b C d = C a b C d − gramo a [ d R C ] b − gramo b [ C R d ] a − 1 3 R gramo a [ C gramo d ] b

El tensor de Ricci viene dado por la ecuación de Einstein:

R a b − 1 2 gramo a b R + Λ gramo a b = 8 π T a b

Ahora bien, el tensor de Weyl no está especificado por la EFE. Sin embargo, no puede ser arbitrario ya que el tensor de Riemann debe satisfacer las identidades de Bianchi:

R a b [ C d ; mi ] = 0

Aplicando esta última condición a la primera ecuación obtenemos que el tensor de Weyl debe satisfacer:

C ; d a b C d = j a b C
dónde j a b C = R C [ a ; b ] + 1 6 gramo C [ b R ; a ] .

Puedes encontrar una prueba aquí .

Ahora puede hacer que la interpretación de estas ecuaciones de campo determine esa parte de la curvatura en un punto que depende de la distribución de la materia en otros puntos.

¿Cómo se relacionan los tensores de curvatura de Weyl & Riemann con el tensor de energía de tensión en GR?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 1v