¿Qué ecuación de Schrödinger es correcta? [duplicar]

Su segunda y tercera ecuaciones son la misma ecuación. Simplemente usan una notación diferente para la derivada del tiempo. Dado que en esta forma "abstracta"$|\Psi \rangle$solo depende del tiempo quiza sea mas correcto usar el ultimo, pero es cuestion de gustos.

Para obtener su primera ecuación (una ecuación de onda), debe proyectar en$\langle x|$:

$$H(P=-i\hbar \partial _x , X=x)\Psi (x,t)=i\hbar \partial _t \Psi (x,t)$$

En este caso$\partial _t$(en vez de$\frac{d}{dt}$) es una notación mejor porque ahora$\Psi$tambien depende de la coordenada$x$.

Con respecto al comentario de Nick Kidman:

i) En el SE abstracto el hamiltoniano$H$es una función de operadores "abstractos"$H=H(P, X)$(las letras mayúsculas se refieren a los operadores).

ii) Se tienen las relaciones canónicas de conmutación$[X,P]=i\hbar$. Una realización o representación de esta relación de conmutación en un (cierto) espacio de funciones$f(x)$(la minúscula$x$es una coordenada en lugar de un operador)$X\,f(x)=x\,f(x)$y$Pf(x)=-i\hbar\partial _x \,f(x)$desde$[x,-i\hbar\partial _x]f(x)=i\hbar f(x)$. (Se puede probar que esta es la única representación de la equivalencia de unidad de módulo de relación de conmutación, en un sistema de dimensión finita. En QFT uno tiene representaciones realmente diferentes). Por lo tanto$P|x\rangle =-i\hbar\partial _x \,|x\rangle$y$X|x\rangle =x \,|x\rangle$

iii) Por definición$\Psi (x)\equiv \langle x|\Psi \rangle$.

I) Reformulemos la pregunta de OP como:

¿Qué símbolo de diferenciación de tiempo se debe usar en el lado derecho de la ecuación de Schrödinger ket dependiente del tiempo?

Respuesta:

Cualquier símbolo que signifique

$$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{|\Psi(t+\Delta t )\rangle_S-|\Psi(t) \rangle_S }{\Delta t}.$$

Así que aparentemente ambas sugerencias de OP funcionan. Aquí el subíndice "$S$" (y "$H$") denota la imagen de Schrödinger (Heisenberg), donde bras y kets evolucionan (no cambian) y los operadores no cambian (evolucionan), respectivamente.

II) Mencionemos para completar que en la imagen de Heisenberg:

1. $$|\Psi \rangle_H\quad \text{does not evolve in time}.$$

2. $${}_H\langle x,t |\quad \text{does not evolve in time}.$$

3. $$\psi (x,t) ~=~ {}_H\langle x,t |\Psi \rangle_H.$$

4. $$\begin{align} {}_H\langle x,t |\hat{x}(t)~=~& x ~{}_H\langle x,t | \cr~\Updownarrow~&\cr {}_H\langle x,t |\hat{x}(t)|\Psi \rangle_H ~=~& x \psi (x,t). \end{align}$$

5. $$\begin{align}{}_H\langle x,t |\hat{p}(t) ~=~& \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} ~{}_H\langle x,t |, \cr~\Updownarrow~&\cr {}_H\langle x,t |\hat{p}(t)|\Psi \rangle_H ~=~& \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi (x,t).\end{align}$$

6. $$\begin{align} i\hbar\frac{\partial}{\partial t} {}_H\langle x,t | ~=~&{}_H\langle x,t |\hat{H}(t) \cr~\Updownarrow~&\cr i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi (x,t) ~=~&{}_H\langle x,t |\hat{H}(t) |\Psi \rangle_H\cr ~=~&(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x))\psi (x,t) .\end{align}$$

Para obtener una explicación completa, consulte, por ejemplo, JJ Sakurai, Modern Quantum Mechanics.

Todas tus ecuaciones son correctas.

$$H\Psi(x,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)$$

dice que derivaremos respecto al tiempo, manteniendo x constante.

$$H|\Psi\rangle = i\hbar\frac{d}{dt}|\Psi\rangle$$

dice que diferenciamos respecto al tiempo, y además este es todo el vector de estado$|\Psi\rangle$depende

$$H|\Psi\rangle = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\rangle$$

tiene el mismo contenido que la segunda ecuación, es solo que no debemos tener cuidado al escribir una derivada parcial ya que no hay otras variables en$|\Psi\rangle$además del tiempo de todos modos, así que una derivada parcial o total servirá.

Entonces, en las 3 ecuaciones estamos diferenciando con la misma dependencia del tiempo, es solo que a veces debemos tener cuidado si hay otras variables alrededor o no.

Solo recuerda lo que significa la d rizada. Solo denota una derivada parcial, por lo que es 1D y la función solo depende de t, entonces es:

$$\frac{df(t)}{dt}$$

En todos los casos en los que la función dependa de más de una variable (por ejemplo, x y t), debe usar la d curva para indicar que está haciendo una derivada parcial.