Problema durante la derivación del Teorema de Ehrefest

Question

Problema durante la derivación del Teorema de Ehrefest

Sparsh Mishra

Por el teorema de Ehrenfest sabemos que

\frac{d ⟨ Ω ⟩}{d t} = ⟨ [H, Ω] ⟩,

$\dfrac{\mathrm d \langle \Omega \rangle}{\mathrm dt} =\langle[H,\Omega]\rangle,$ dónde

Ω

$\Omega$ es un operador y

H

$H$ es el hamiltoniano cuántico.

Me gustaría saber qué está mal en los siguientes pasos:

\begin{matrix} (1) & \frac{d ⟨ Ω ⟩}{d t} := \frac{d ⟨ ψ | Ω | ψ ⟩}{d t} = (\frac{\partial ⟨ ψ |}{\partial t}) Ω | ψ ⟩ + ⟨ ψ | \frac{\partial (Ω | ψ ⟩ |)}{\partial t} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\mathrm d \langle \Omega \rangle}{\mathrm dt} := \frac{\mathrm d\langle \psi | \Omega|\psi \rangle}{\mathrm dt} = \left(\frac{\partial\langle\psi| }{\partial t} \right)\Omega|\psi\rangle + \langle \psi |\frac{\partial(\Omega|\psi\rangle|)}{\partial t} \tag{1} \end{equation}$ Usando la regla del producto,

\begin{matrix} (2) & \frac{d ⟨ ψ | Ω | ψ ⟩}{d t} = (\frac{\partial ⟨ ψ |}{\partial t}) Ω | ψ ⟩ + ⟨ ψ | \frac{\partial (Ω | ψ ⟩ |)}{\partial t} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\mathrm d\langle \psi | \Omega|\psi \rangle}{\mathrm dt} = \left(\frac{\partial\langle\psi| }{\partial t} \right)\Omega|\psi\rangle + \langle \psi |\frac{\partial(\Omega|\psi\rangle|)}{\partial t} \tag{2} \end{equation}$ La ecuación de Schroedinger establece:

\begin{matrix} (3) & \frac{\partial | ψ ⟩}{\partial t} = \frac{- i H | ψ ⟩}{ℏ} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\partial|\psi \rangle}{\partial t} = \frac{-i H|\psi\rangle }{\hbar}\tag{3} \end{equation}$

Entonces, tomando la conjugación hermítica (y dado que el hamiltoniano es hermético):

\begin{matrix} (4) & \frac{\partial ⟨ ψ |}{\partial t} = \frac{i ⟨ ψ | H}{ℏ} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\partial\langle\psi| }{\partial t} = \frac{i \langle\psi|H }{\hbar} \tag{4} \end{equation}$ Ahora aplicando la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo al estado

Ω | ψ ⟩

$\Omega|\psi\rangle$ (Esto se puede hacer como

Ω | ψ ⟩

$\Omega|\psi\rangle$ es también un estado en el espacio de funciones),

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial Ω | ψ ⟩}{\partial t} = \frac{- i H Ω | ψ ⟩}{ℏ} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\partial\Omega|\psi \rangle}{\partial t} = \frac{-i H\Omega|\psi\rangle }{\hbar}\tag{5} \end{equation}$ Así, aplicando las ecuaciones 4,5 a la ecuación 2,

\begin{matrix} (5) & \frac{d ⟨ ψ | Ω | ψ ⟩}{d t} = (\frac{i ⟨ ψ | H}{ℏ}) Ω | ψ ⟩ + ⟨ ψ | \frac{- i}{ℏ} H Ω | ψ ⟩ \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\mathrm d\langle \psi | \Omega|\psi \rangle}{\mathrm dt} = \left( \frac{i \langle\psi|H }{\hbar} \right)\Omega|\psi\rangle + \langle \psi| \frac{-i }{\hbar}H\Omega|\psi\rangle\tag{5} \end{equation}$ Como podemos observar esto da

\frac{d ⟨ ψ | Ω | ψ ⟩}{d t} = \frac{i}{ℏ} ⟨ ψ | H Ω | ψ ⟩ - \frac{i}{ℏ} ⟨ ψ | H Ω | ψ ⟩ = 0

$\begin{equation} \frac{\mathrm d\langle \psi | \Omega|\psi \rangle}{\mathrm dt} = \frac{i}{\hbar}\langle\psi|H \Omega|\psi\rangle - \frac{i}{\hbar}\langle\psi|H \Omega|\psi\rangle = 0 \end{equation}$ Esto va en contra del teorema de Ehrefest como

Ω

$\Omega$ era un operador general. Sospecho que uno de mis pasos sucintamente ha asumido algo, pero no puedo entender qué es.

Respuestas (3)

Problema durante la derivación del Teorema de Ehrefest

ZeroTheHero · Answer 1

Asumir que $\Omega$ no depende explícitamente del tiempo. Con esto tu (5) se convierte en

\begin{matrix} (6) & \frac{\partial}{\partial t} Ω | ψ ⟩ = Ω \frac{\partial}{\partial t} | ψ ⟩ = - \frac{i Ω H}{ℏ} | ψ ⟩ \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial t}\Omega\vert\psi\rangle = \Omega\frac{\partial}{\partial t}\vert\psi\rangle=-\frac{i\Omega H}{\hbar} \vert\psi\rangle \tag{6}$ Combinar tu (4) y mi (6) producirá el resultado requerido.

Más específicamente, el error es que, si $\vert\psi\rangle$ es una solucion entonces $\Omega\vert\psi\rangle$ no suele ser una solución. Para ver esto considera

| Ψ (t) ⟩ = a_{0} {mi}^{- i ω t / 2} | 0 ⟩ + a_{1} {mi}^{- i 3 ω t / 2} | 1 ⟩

$\vert\Psi(t)\rangle= a_0e^{-i \omega t/2} \vert 0\rangle +a_1 e^{-i 3\omega t/2} \vert 1\rangle$ con

| n ⟩

$\vert n\rangle$ el

n

$n$ 'th oscilador armónico ket. Entonces claramente

\begin{aligned} i ℏ \frac{d}{d t} | Ψ (t) ⟩ & = \frac{ℏ ω}{2} a_{0} {mi}^{- i ω t / 2} | 0 ⟩ + \frac{3 ℏ ω}{2} a_{1} {mi}^{- i 3 ω t / 2} | 1 ⟩, \\ = \hat{H} | Ψ (t) ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} i\hbar \frac{d}{dt}\vert\Psi(t)\rangle &= \frac{\hbar\omega}{2} a_0e^{-i \omega t/2} \vert 0\rangle +\frac{3\hbar\omega}{2} a_1e^{-i 3\omega t/2} \vert 1\rangle \, ,\\ &=\hat H\vert\Psi(t)\rangle \end{align}$ pero si

\hat{X} = a + a^{†}

$\hat X=a+a^\dagger$ entonces

\begin{aligned} \hat{X} | Ψ (t) ⟩ & = {mi}^{- i 3 ω t / 2} a_{1} | 0 ⟩ + a_{0} {mi}^{- i ω t / 2} | 1 ⟩ + \sqrt{2} a_{1} {mi}^{- i 3 ω t / 2} | 2 ⟩, \\ \hat{H} \hat{X} | Ψ (t) ⟩ & = {mi}^{- i 3 ω t / 2} a_{1} \frac{1}{2} ℏ ω | 0 ⟩ + \frac{3}{2} ℏ ω a_{0} {mi}^{- i ω t / 2} | 1 ⟩ + \frac{5}{2} ℏ ω \sqrt{2} a_{1} {mi}^{- i 3 ω t / 2} | 2 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \hat X\vert\Psi(t)\rangle&= e^{-i 3\omega t/2} a_1\vert 0\rangle +a_0e^{-i \omega t/2} \vert 1\rangle +\sqrt{2}a_1e^{-i 3\omega t/2} \vert 2\rangle\, ,\\ \hat H\hat X\vert\Psi(t)\rangle&= e^{-i 3\omega t/2} a_1\textstyle\frac{1}{2}\hbar\omega\vert 0\rangle + \frac{3}{2}\hbar\omega a_0e^{-i \omega t/2} \vert 1\rangle + \frac{5}{2}\hbar\omega\sqrt{2}a_1e^{-i 3\omega t/2} \vert 2\rangle\\ \end{align}$ mientras

\begin{aligned} i ℏ \frac{d}{d t} \hat{X} | Ψ (t) ⟩ & = \frac{3}{2} ℏ ω a_{1} {mi}^{- i 3 ω t / 2} | 0 ⟩ + \frac{1}{2} ℏ a_{0} {mi}^{- i ω t / 2} | 1 ⟩ + \frac{3 ℏ ω}{2} \sqrt{2} a_{1} {mi}^{- i 3 ω t / 2} | 2 ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align} i\hbar\frac{d}{dt}\hat X\vert\Psi(t)\rangle&= \textstyle\frac{3}{2}\hbar\omega a_1e^{-i 3\omega t/2}\vert 0\rangle + \frac{1}{2}\hbar a_0e^{-i \omega t/2} \vert 1\rangle +\frac{3\hbar\omega}{2}\sqrt{2}a_1e^{-i 3\omega t/2} \vert 2\rangle\, . \end{align}$

Editar: en general, comience con

\begin{aligned} | Ψ (t) ⟩ & = \sum_{norte} | norte ⟩ C_{norte} {mi}^{- i {mi}_{norte} t / ℏ}, \\ (1) & Ω | Ψ (t) ⟩ & = \sum_{norte metro} | metro ⟩ C_{norte} Ω_{metro norte} {mi}^{- i {mi}_{norte} t / ℏ}, \end{aligned}

$\begin{align} \vert\Psi(t)\rangle&=\sum_n \vert n\rangle c_n e^{-iE_nt/\hbar} \, ,\\ \Omega\vert\Psi(t)\rangle&= \sum_{nm} \vert m\rangle c_n \Omega_{mn} e^{-iE_nt/\hbar}\, , \tag{1} \end{align}$ dónde

Ω_{m n} = ⟨ m | Ω | n ⟩

$\Omega_{mn}=\langle m\vert \Omega \vert n\rangle$ .

Ahora, comience desde (1) y compare

\begin{aligned} (2) & i ℏ \frac{d}{d t} Ω | Ψ (t) ⟩ & = \sum_{norte metro} | metro ⟩ C_{norte} Ω_{metro norte} {mi}_{norte} {mi}^{- i {mi}_{norte} t / ℏ}, \\ (3) & H Ω | Ψ (t) ⟩ & = \sum_{metro norte} | metro ⟩ C_{norte} Ω_{metro norte} {mi}_{metro} {mi}^{- i {mi}_{norte} t / ℏ} \end{aligned}

$\begin{align} i\hbar\frac{d}{dt}\Omega \vert\Psi(t)\rangle &= \sum_{nm} \vert m\rangle c_n \Omega_{mn} E_n e^{-iE_n t/\hbar} \, , \tag{2}\\ H\Omega\vert\Psi(t)\rangle&=\sum_{mn} \vert m\rangle c_n \Omega_{mn} E_m e^{-iE_nt/\hbar} \tag{3} \end{align}$ y puedes ver que la diferencia entre (2) y (3) viene porque

H

$H$ "ve"

| m ⟩

$\vert m\rangle$ y devuelve un factor de

E_{m}

$E_m$ pero la derivada w/r a

t

$t$ "ve" el factor

e^{- i E_{n} t / ℏ}

$e^{-iE_nt/\hbar}$ y así devuelve un factor de

E_{n}

$E_n$ en cambio.

¡Gracias! Entiendo el ejemplo, pero ¿por qué es que $Ω | ψ ⟩$ $\Omega|\psi\rangle$ ¿No es una solución a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo? ¿podría proporcionar una referencia por favor?
@SparshMishra No hay razón para creer que sería una solución. Por supuesto si $\Omega$ y $H$ viajar es otra cosa.
@SparshMishra He agregado un poco para que pueda ver por qué, en general, no funciona.

JG · Answer 2

El problema es la Ec. (5). Las soluciones de TDSE no incluyen todos los vectores en el espacio de Hilbert. Si tú escribes $|\psi\rangle$ como superposición de los estados propios del hamiltoniano, puede demostrar (5) siempre que los coeficientes sean independientes del tiempo, lo que no es cierto en general.

Mmm_Pasta · Answer 3

Tiene un error en (2) y (5). En (2), está tomando la derivada temporal del operador que actúa sobre el ket estatal. Al tomar esta derivada del tiempo, piense en la regla del producto para la diferenciación. Terminará con la derivada de tiempo parcial del operador y el operador actuando sobre la derivada de tiempo parcial del ket estatal.

Sí, lo entiendo, pero ¿qué tiene de malo el método que publiqué?

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Problema con la demostración del teorema de Ehrenfest

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