Derivadas ordinarias frente a parciales de kets y observables en el formalismo de Dirac

El uso de derivadas totales y parciales en Física no siempre es muy riguroso o consistente. A veces, los autores sólo escriben$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$si quieren enfatizar que hay una dependencia temporal implícita que debe incluirse en la derivada, y por defecto$\frac{\partial}{\partial t}$de lo contrario. A veces, los autores sólo escriben$\frac{\partial}{\partial t}$si quieren enfatizar que hay una dependencia temporal implícita que debe ignorarse en la derivada, y por defecto$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$de lo contrario. A veces, los autores simplemente escriben$\partial_t$porque es menos esfuerzo que$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$. A veces, a los autores realmente no les importa y solo se dejan llevar por la intuición.

Voy a ir a través de sus preguntas específicas:

• En la ecuación de Schrödinger$H|\psi(t)\rangle = \mathrm i\hbar \partial_t |\psi(t)\rangle = \mathrm i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} |\psi(t)\rangle$porque la funcion$|\psi(t)\rangle$no depende de ningún otro parámetro de todos modos. (Desde mi experiencia, la mayoría de las personas escriben una derivada parcial aquí, pero cualquier forma es correcta).

• En su ejemplo de Sakurai, tal vez quieran enfatizar que$\alpha$y$t_0$no dependas del tiempo.

• Acerca de los operadores: en mi (segunda) edición de Sakurai, hay una derivada total en el lado izquierdo. Y debería haberlo, porque queremos distinguir la dependencia temporal implícita que proviene de los propagadores y la posible dependencia temporal explícita de$A_S$. Esto a veces se escribe como

  $$\frac{\mathrm d A_H}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm i}{\hbar} [H, A_H] + \frac{\partial A_H}{\partial t} .$$ Editado para agregar: a la gente le gusta escribirlo de esta manera porque muestra la analogía con la mecánica canónica . Allí, la distinción entre derivadas totales y parciales es bastante clara.

• Finalmente tenga en cuenta que para el operador$A_S$en la imagen de Schrödinger, no hay una dependencia temporal implícita. Así que no importa si escribes una derivada total o parcial.

Votó a favor de la pregunta, porque es una pregunta en física que es muy adecuada para una respuesta puramente matemática. Cual es:

La notación adecuada para la derivada temporal que se utilizará en la ecuación de Schrödinger genérica/abstracta es la derivada completa, es decir$\frac d {dt}$, sin importar si uno usa la notación bra/ket (matemáticamente desafiante), o si uno usa la notación tradicional de los físicos de las funciones de onda de Schrödinger. Sin embargo, la derivada parcial se puede usar bajo ciertos supuestos matemáticos vinculados a continuación.

Explicación : el hamiltoniano en la llamada imagen de Schrödinger es un mapeo adecuado de valores de operadores espaciales de Hilbert$\mathbb R \ni t\mapsto H (t)\equiv H \in \mathcal L(\mathcal H),\forall t, H = H^\dagger$. Los estados de Schrödinger (representantes del estado) son mapeos adecuados de vectores espaciales de Hilbert (llamados trayectorias cuánticas )$\mathbb R \ni t\mapsto \psi (t)\in \mathcal H$, fuertemente continua en el parámetro real$t$llamado tiempo . Por lo tanto, es una suposición (axioma de QM) que el mapeo

Ahora uno podría preguntarse si el hamiltoniano es una función de los operadores fundamentales x,p (en una dimensión), por una proyección en el espacio de Hilbert$L^2 (\mathbb{R})$, por lo que podría verse como una función compleja de varias variables$H = H(x,p,t)$, se puede escribir la ecuación de Schrödinger usando derivadas parciales en la forma:

en otras palabras, ¿cuál sería la conexión con la formulación rigurosa anterior? Valter Moretti aquí La derivada del tiempo del vector de estado expresada en el espacio abstracto de Hilbert frente a una función de onda mostró bajo qué supuestos matemáticos exactos, el$\frac{d}{dt}$definida anteriormente por el límite fuerte se puede transformar a la$\frac{\partial}{\partial t}$.