¿Los grupos de mayor homotopía juegan algún papel en la teoría de calibre?

Los grupos de homotopía más altos juegan un papel en la teoría de calibre.

En muchos casos, consideramos un espacio o un espacio-tiempo compactado$M$con topología esférica$S^n$. En el caso de que nuestra teoría de calibre se defina en un paquete trivial$P = S^n\times G$, el grupo de transformaciones de norma (grupo de automorfismos del fibrado principal) es el grupo$\mathcal{G}=\mathrm{Map}(S^n, G)$de mapas suaves de$S^n$a$G$. Los grupos de homotopía se pueden utilizar para clasificar topológicamente los puntos de este espacio que son configuraciones de transformación de calibre. Aquí tenemos la identidad:

$$\pi_m(\mathrm{Map}(S^n, G)) = \pi_{m+n}(G)$$ Ejemplos:

1. Permítanme considerar primero el ejemplo dado en la pregunta.

   $$\pi_0(\mathrm{Map}(S^3, G)) = \pi_3(G)$$ Así, el número de instantón determina el componente conexo (es decir, el elemento de$\pi_0$)de la configuración de calibre desde el ecuador$S^3$del espacio-tiempo (se supone que es$S^4$).

2. Teoría efectiva de baja energía de QCD en$4$dimensiones (ver aspectos globales de Witten ). En este caso, las configuraciones del grupo de transformación de calibre del (sabor)$SU(3)$convertirse en los bosones de Nambu-Goldstone a baja energía, la acción se puede extender a una variedad de cinco dimensiones cuyo límite es el espacio-tiempo porque$\pi_4(SU(3))=0$. A continuación, las cuantificaciones no equivalentes se clasifican por$\pi_5(SU(3))$, que resulta ser el número de colores del grupo de colores (que por lo demás está ausente de la descripción de baja energía ya que todas las excitaciones pertenecen a la representación de color trivial).

3. de Witten $SU(2)$anomalía, que fue la primera anomalía global descubierta. Aquí un$SU(2)$Teoría de calibre en un espacio-tiempo compactado.$S^4$con un número impar de especies de fermiones es anómalo porque$\pi_4(SU(2)) = \pi_0(\mathrm{Map}(S^4, SU(2)= \mathbb{Z}_2$. Por favor vea la exposición de Catenacci y Lena.

Fukui Fujiwara Hatsugai descubrió que el mismo grupo de homotopía es responsable de la$\mathbb{Z}_2$aisladores topológicos invariantes invariantes en inversión de tiempo. Aquí el grupo$SU(2) \cong SP(1)$es el grupo de calibre de la conexión Berry inducida de un doblete de Kramer.

4. Los ejemplos anteriores tratan campos de materia en el fondo de los campos de Yang-Mills. Los grupos de homotopía más altos también aparecen en el problema de la cuantización de yang-Mills puros. Aquí, dado que el espacio de todas las configuraciones de Yang-Mills$\mathcal{A}$(incluidas las copias de calibre) es contráctil, la secuencia exacta de homotopía corta implica que los grupos de homotopía del espacio de conexiones de calibre no equivalente están dados por:

$$\pi_k(\mathcal{A}/\mathcal{G}) = \pi_{k-1}(\mathcal{G})$$ Las cuantificaciones no equivalentes (sectores de superselección) de cualquier espacio de configuración $\mathcal{M}$corresponde a una suma directa de $H^2(\mathcal{M})$que cuenta las cargas magnéticas de Dirac y $\mathrm{Map} (\pi_1(\mathcal{M}), U(1))$que corresponde a los flujos de Aharonov-Bohm. Así, en el caso de (Hamiltoniano) Yang-Mills definido en la variedad espacial $S^3$, tenemos: $$\pi_2(\mathcal{A}/\mathcal{G}) = \pi_{1}(\mathcal{G}) = \pi_{1}(\mathrm{Map}(S^3, SU(N))) = \pi_4(SU(N))$$ lo cual es trivial, sin embargo: $$\mathrm{Map} (\pi_1(\mathcal{A}/\mathcal{G} ), U(1))= \mathrm{Map} (\pi_3(SU(N)) , U(1)) = \mathrm{Map} (\mathbb{Z} , U(1)) = \mathbb{R}/2 \pi\mathbb{Z}$$ (lamento que este ejemplo incluya solo un tercer grupo de homotopía), el representante de estas representaciones no equivalentes son los $\theta-$vacío Wu y Zee acuñaron la generalización del flujo de Aharonov-Bohm a este problema de cuantización de dimensión infinita como una estructura de calibre abeliana. Es un campo de calibre abeliano funcional que vive dentro del espacio de configuración de Yang-Mills no abelianos.