¿Por qué no se pueden compactar grupos simplécticos? (n)\equiv USp(2n)\equiv U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb{C}) grupos de norma en la teoría de Yang-Mills?

La estructura del modelo estándar.$SU(3)\times SU(2)\times U(1)$es quiral que básicamente te dice la necesidad de fermiones quirales. Si los fermiones zurdos se transforman bajo una representación$R$del grupo de simetría entonces debido a la conjugación de carga que relaciona los fermiones zurdos y diestros como

$$\psi_{Right}=C(\bar{\psi^C})^T_{Left}$$ y así, los fermiones diestros deberían transformarse bajo la representación conjugada compleja $R^*$. Si $R$es real o pseudoreal, entonces los fermiones zurdos y diestros se transforman en la misma representación del grupo y se sabe que la teoría es una teoría de tipo vectorial (QCD). Para tener estructura quiral de fermiones, uno tiene que tener $R \ne R^*$que exige $R$ser complejo

Aunque QCD es como un vector y$2=2^*$, todo el modelo estándar es quiral como se puede ver escribiendo$R$para fermiones zurdos como,

$$R=(3,2)_{\frac{1}{6}}+(3^*,1)_{\frac{-2}{3}}+(3^*,1)_{\frac{1}{3}}+(1,2)_{\frac{-1}{2}}+(1,1)_{1}$$ cuyo complejo conjugado no es lo mismo que $R$.

Se sabe que$USp(2n)$para$n>2$admite representaciones reales y pseudo-reales (Weinberg Vol. 2, capítulo 22) y$USp(4)$no es lo suficientemente grande para contener el modelo estándar.

Además usando un$Sp(n)$como el grupo de calibre exige un número par de multipletes de fermiones; de lo contrario, la teoría del calibre mostrará una anomalía no perturbativa$^1$involucrando el cuarto grupo de homotopía de$Sp(n)$.

1- Ed Witten, nucl. física B223 (1983), 433-444.

Bueno, la respuesta a tu pregunta no es tan trivial, supongo. Aquí está mi intento. Quiero dar una idea de por qué un grupo simpléctico no es una buena opción para la construcción de modelos desde un punto de vista fenomenológico.

Ahora mira de cerca el grupo simpléctico.

• $Sp(1)$es isomorfo a$SU(2)$
• $Sp(4)$es isomorfo a$SO(5)$(que se debe a una conexión más profunda entre$SO(2n+1)$y$Sp(2n)$)

El grupo de indicadores del modelo estándar es$SU(3)_{C}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{Y}$. Si echamos un vistazo más de cerca entonces$SU(3)$tiene representación compleja (la representación fundamental y anti-fundamental no se mezclan entre sí),$SU(2)$tiene representación pseudo real. Eso simplemente dice que las partículas pertenecen al modelo estándar (¡también pertenecen al mundo real!) El grupo de calibre tiene representaciones complejas .

Lo más sorprendente es que el grupo simpléctico no tiene representaciones complejas. Por ejemplo$USp(2n)$con$n\geq 3$sólo tiene representaciones reales y pseudo-reales. Por lo tanto, cualquier teoría de calibre que no pueda acomodar una representación compleja no es una buena opción para la construcción de modelos.

Para una perspectiva más rigurosa, se puede consultar la teoría de grupos para la construcción de modelos unificados de Slansky .