Supercompañero del tensor estrés-energía

No sé mucho sobre la supersimetría, pero en ausencia de otras respuestas, tal vez se beneficie infinitesimalmente de mis conjeturas.

Pensemos en términos de una teoría SUSY que no interactúa con un campo bosónico y fermiónico$S \sim \int\text d^2z\left(\partial X\bar{\partial}X - \left(\psi\bar{\partial}\psi + \bar{\psi}\partial\bar{\psi}\right)\right)$. Entonces, a partir de las simetrías espacio-temporales, tenemos un tensor de energía-momento conservado$T(z) = T_{boson}(z) + T_{fermion}(z)$(sin acoplamiento, ya que no interactúan), y similitud para la parte anti-holormorfa. Entonces es muy natural adivinar que su$G(z)$no es más que la carga conservada proveniente de la supersimetría (que podría derivarse del teorema de Noether). Ahora, sabemos que tenemos un campo primario.$\psi(z)$(el fermión) con$h_{\psi}=\frac 12$y$j(z)=i\partial X(z)$(el bosón) con$h_j=1$. Es natural suponer que$G(z)$es una combinación de$\psi(z)$y$j(z)$, lo que potencialmente podría convertirlo en un campo primario con dimensión conforme$h_G = h_{\psi} + h_j = \frac 32$. El$T(z)G(w)$OPE no es más que la afirmación de que$G(z)$es un campo primario con$h_G=\frac 32$. El$G(z)G(w)$Entonces, el OPE debe derivarse usando los OPE de$\psi(z)$y$j(z)$junto con el teorema de Wicks, como de costumbre.

Para el$\mathcal N = 2$caso, no tengo ni idea. Si eres menos perezoso que yo y realmente llevas a cabo este cálculo, escribe un comentario sobre si funciona o no.

ADVERTENCIA: el contenido de esta respuesta no está pensado y podría estar completamente equivocado.

EDITAR: En cuanto a por qué$G(z)$se llama supersocio a$T(z)$. Recuerdo vagamente que uno suele hacer supersimetría en términos de superespacios y supercampos. Mi conjetura sería que uno puede construir un tensor de energía-momento súper (campo), probablemente de la forma$\sim G(z) + \theta T(z)$, y luego son "supersocios" de esta manera.

---

EDIT2: @Arnirbit, en mi respuesta asumí conocimiento de algunos aspectos básicos de CFT 2d no supersimétrico. En particular el bosón libre y el fermión (debo declararme novato en CFT y por tanto no experto).

Ahora a sus preguntas. Un campo primario es un campo que se transforma de una manera particularmente "agradable" bajo transformaciones conformes$(z,\bar z)\rightarrow (f(z), \bar f(\bar z))$,

$$\phi(z,\bar z) \rightarrow \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)^h\left(\frac{\partial \bar f}{\partial \bar z}\right)^{\bar h} \phi\left(f(z),\bar f(z)\right),$$ dónde $\phi(z,\bar z)$es un campo primario con peso conforme $(h,\bar h)$. Hay una conexión entre las propiedades de transformación de los campos y los OPE, por ejemplo, se puede mostrar que un campo primario de peso $(h,\bar h)$tener el siguiente OPE con el tensor de energía-momento $$T(z)\phi(w,\bar w) = \frac h{(z-w)^2}\phi(w,\bar w) + \frac 1{z-w}\partial_w\phi(w,\bar w) + \text{regular terms},$$ y similar para la parte anti-holormorfa (una forma de derivar esto es usando identidades de Ward). Por supuesto, esta igualdad debe interpretarse como válida bajo una función de correlación ordenada en el tiempo. Otra propiedad de los campos primarios es que su función de dos puntos está fijada por simetría para ser $$\left<\phi(z,\bar z)\phi(w,\bar w)\right> = \frac C{(z-w)^{2h}(\bar z-\bar w)^{2\bar h}}.$$

Ahora, concentrémonos en la teoría bosónica libre.

$$S[X] = T\int\text d^2z\;\partial X(z,\bar z)\bar{\partial}X(z,\bar z).$$ Las ecuaciones de movimiento son $\partial\bar{\partial}X(z,\bar z) = 0$, significa que $j(z)\equiv i\partial X(z,\bar z)$es holormórfico (depende sólo de $z$, no $\bar z$) y análogamente para $\bar j(\bar z)\equiv i\bar{\partial}X(z,\bar z)$. Se puede calcular la función de dos puntos $\left<X(z,\bar z)X(w, \bar w)\right> \propto \log\left|z-w\right|^2$. Esto no tiene la forma anterior, y por lo tanto $X(z,\bar z)$no es un campo primario! Sin embargo $$\left<j(z)j(w)\right> = -\left<\partial_zX(z,\bar z)\partial_wX(w,\bar w)\right>\propto -\partial_z\partial_w\log\left|z-w\right|^2 = \frac 1{(z-w)^2}.$$ esto dice que $j(z)$es un campo primario (quiral) con dimensión conforme $(1,0)$, con la OPE $j(z)j(w) = \frac 1{(z-w)^2} + \dots$(si te gustan las palabras elegantes, este OPE te da una $\mathfrak{u}(1)$álgebra afín de Kac-Moody). Puede calcular el tensor de energía-momento que será de la forma $T(z) = -\gamma :\partial X\partial X: = \gamma :jj:(z)$, para alguna constante apropiada $\gamma$y pedidos normales $:\; :$es necesario en el nivel cuántico. Usando el teorema de Wicks se encuentra $$T(z)j(w) = \frac 1{(z-w)^2}j(w) + \frac 1{z-w}\partial_wj(w) + \text{regular terms},$$ que de nuevo dice que $j(z)$tiene dimensiones conformes $(h,\bar h) = (1,0)$. Un análisis similar para el fermión libre te dirá que $\psi$es un campo primario con $(h,\bar h) = (\frac 12, 0)$y te doy la OPE $\psi(z)\psi(w) = \frac 1{z-w} + \dots$(y lo mismo para $\bar{\psi}$).

Si aún no está familiarizado con todo esto, mi bosquejo rápido no será suficiente y le recomiendo que consulte un libro de texto. Finalmente, creo que cuando combinas la teoría del bosónico libre y el fermiónico libre de una manera supersimétrica, entonces puedes descubrir por qué.$G(z)$con peso conforme$h = \frac 32$aparece