Construyendo el Lagrangiano de Dirac sin asumir matrices γγ\gamma hermitianas/antihermitianas

el dirac γ matrices siguen el álgebra de Clifford:

{ γ m , γ v } = 2 η m v

La construcción tradicional del Lagrangiano de Dirac implica elegir una base del γ matrices donde γ m es hermitiano o antihermitiano dependiendo de la métrica, y procediendo a definir el adjunto de Dirac ψ ¯ = ψ † γ 0 . Los libros de texto luego proceden a mostrar que ψ ¯ ψ es un escalar de Lorentz, etc. y construye el Lagrangiano de Dirac con el término 'cinético' y el término de masa.

¿Es posible construir el Lagrangiano de Dirac SIN usar la hermiticidad del γ matrices? Por lo que puedo ver, el S [ Λ ] matriz definida por el no hermitiano γ matrices es una representación válida del grupo de Lorentz. Entonces, ¿por qué los libros de texto recurren a la hermiticidad de la γ matrices para construir el lagrangiano?

L = i ψ ¯ ⧸ ∂ ψ − metro ψ ¯ ψ

Si construimos el Lagrangiano de Dirac sin asumir la hermética de estas matrices, ¿cómo definimos ahora el adjunto de Dirac?

La hermiticidad no es una propiedad dependiente de la base de una matriz, ¿no?
@Charlie Supongo que fui bastante arrogante al afirmar que estamos usando una 'base' de la γ matrices... una 'representación' sería una mejor palabra para usar

Respuestas (1)

La respuesta es no. Las matrices gamma están definidas por el álgebra de Clifford

{ γ m , γ v } = 2 η m v

Digamos que estamos trabajando en la firma con η m v = diagnóstico ( − 1 , + 1 , + 1 , + 1 ) . Tenemos

( γ 0 ) 2 = − 1 , ( γ i ) 2 = 1
Estas ecuaciones dicen que γ 0 tiene valores propios ± i (por lo tanto, anti-hermitiano), y el γ i tiene valores propios ± 1 (de ahí Hermitian).

Veo lo que dices sobre los generadores. 1 4 [ γ m , γ v ] siendo el objeto importante para definir la representación, y que puede haber espacio para elegir γ m lo que deja el conmutador invariante. Pero el conmutador funciona como generador del grupo de Lorentz como consecuencia del álgebra de Clifford.

Editar

Lo que escribí arriba es incorrecto. De hecho, se pueden encontrar soluciones al álgebra de Clifford que no son hermitianas. Aquí hay un conjunto de soluciones que encontré del 2 d Álgebra de Clifford

γ 0 = i ( 1 A 0 − 1 ) , γ 1 = ( − 1 0 2 / A 1 )

Probablemente puedas jugar con el 4 d caso de buscar ejemplos pero se me escapa por el momento. Creo que una mejor respuesta a por qué no usamos matrices gamma como esta es que dan como resultado generadores que no son ni hermitianos ni antihermitianos. Por lo general, es mucho más difícil hacer que una teoría sea unitaria si las representaciones que usamos de cualquier grupo de simetría no son representaciones unitarias. Ahora bien, las representaciones de Lorentz que utilizamos no son unitarias, sino que los generadores son hermitianos o antihermitianos (generadores de rotación y sobrealimentación respectivamente), y existe un procedimiento coloquialmente conocido como Wick-Rotation que nos permite definir una teoría unitaria en este sentido. caso.

Por que γ i tener un valor propio de +1 implica que es hermitiano? Todo lo que dice es que tiene valores propios positivos. Estoy de acuerdo en que una matriz hermitiana tiene valores propios reales, pero solo porque una matriz tiene valores propios reales no necesita ser hermitiana.
Sí, tienes razón, eso se me olvidó. Déjame pensar un poco y editaré mi respuesta.
@Harsha Hice una edición para corregir mi respuesta.
Gracias por tu comentario. Así que supongo que la conclusión final es que no es necesario tener hermitian γ matrices, pero solo que es demasiado trabajo para cero beneficio?
@Harsha Creo que es peor que 'demasiado trabajo'. Representaciones de este tipo, ni generadoras hermitianas ni antihermitianas, no tienen una manera obvia de hacer consistentes.
Gracias por su respuesta. ¿Coherente en qué sentido?
@Harsha, no serían unitarios.
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