Si una función es uno a uno pero no sobre, ¿tiene un número infinito de inversas por la izquierda?

La pregunta que tengo pide mostrar que si una función$f: A \rightarrow A$es uno a uno pero no sobre, tiene al menos dos inversas izquierdas. He resuelto lo que considero que es una solución, pero lo que encontré difiere ligeramente de lo que hace la pregunta.

Primero tenga en cuenta que dado que la función mapea$A$a sí mismo y es uno a uno pero no sobre, se puede suponer que A no es un conjunto finito. A continuación, deja$i,j \in \mathbb{N}$y deja$x_i \in A$sea ​​un elemento fijo en A tal que si$i \neq j$entonces$x_i \neq x_j$. Ahora deja$n \in \mathbb{N}$y definir$g_n: A \rightarrow A$como sigue:

1. Dejar$a,b \in A$. Si$f(a)=b$entonces deja$g_n(b)=a$. Tenga en cuenta que esto está bien definido ya que$f$es uno a uno.
2. Si por$b \in A$,$\nexists a \in A$tal que$f(a)=b$, dejar$g_n(b)=x_n$

Esta función es una inversa izquierda válida$\forall n \in \mathbb{N}$ya que si$f(a)=b$, tenemos eso$g_n(f(a))=g_n(b)=a$.

Desde$f$es sobre, debe haber al menos uno$b$que satisface la segunda regla. También, desde$A$debe ser un conjunto infinito,$x_n$debe ser definido$\forall n \in \mathbb{N}$. Esto significa que$g_n$también hay que definir$\forall n \in \mathbb{N}$, por lo que hay un número infinito de inversas izquierdas.

Entiendo que un número infinito de inversas sigue siendo técnicamente al menos dos inversas, pero esta redacción me ha llevado a pensar que me he equivocado en algo aquí, y si hay algún error en mi argumento, sería fantástico si alguien pudiera señalarlo. afuera.

Gracias.

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Esto es lo que entregué, del cual obtuve la máxima puntuación:

Dejar$A$ser un conjunto tal que$A \neq \emptyset$y deja$f \in F_A$ser una función, es decir$f: A \rightarrow A$. Suponer$f$es inyectiva pero no sobreyectiva. Tenga en cuenta que esto significa que$A$debe ser un conjunto infinito. A continuación, deja$i,j \in \mathbb{N}$y deja$x_i \in A$sea ​​un elemento fijo en A tal que si$i \neq j$entonces$x_i \neq x_j$. Ahora deja$n \in \mathbb{N}$y definir la familia de funciones$g_n: A \rightarrow A$como sigue:

1. Si por$b \in A$,$\exists a \in A$tal que$f(a)=b$entonces deja$g_n(b)=a$. Tenga en cuenta que esto está bien definido ya que$f$es inyectivo, entonces$a$siempre será único.
2. Si por$b \in A$,$\nexists a \in A$tal que$f(a)=b$, entonces deja$g_n(b)=x_n$.

Ahora deja$a,b \in A$tal que$f(a)=b$. Por la regla i. para$g_n$, tenemos eso$g_n(b)=a$, entonces$g_n \circ f(a)=g(f(a))=g(b)=a=\iota (a)$. Desde$g_n \circ f=\iota$,$g_n$es un inverso izquierdo de$f$, independientemente del valor de$n$ya que no usamos la regla ii. de la definición de$g_n$.

Como señalamos antes,$A$debe ser un conjunto infinito, entonces$x_n$debe ser definido$\forall n \in \mathbb{N}$, por eso$g_n$también hay que definir$\forall n \in \mathbb{N}$.

Por último, mostraremos que no hay dos inversas izquierdas por esta definición que pueden ser iguales, porque si$g_1=g_2=g_3=\ldots$entonces solo quedaría un inverso a la izquierda.. Sea$i,j \in \mathbb{N}$tal que$i \neq j$y deja$b \in A$tal que$\nexists a \in A$dónde$f(a)=b$, lo cual es posible ya que$f$no es sobreyectiva. Por la regla ii. para$g_n$,$g_i(b)=x_i$y$g_j(b)=x_j$. Desde$i \neq j$, entonces$x_i \neq x_j$, por eso$g_i \neq g_j$.$\therefore$Desde$f$tiene un número infinito de inversas a la izquierda en$F_A$,$f$tiene al menos dos inversas izquierdas diferentes$F_A$.