Funciones inversas y sus puntos de intersección

Considerar$f(x) = x$.

Tenga en cuenta que$g(x) = f^{-1}(x) = x = f(x)$.

Entonces, ¡hay infinitas intersecciones!

Buena solución. Conozco la solución de intersecciones infinitas, pero ¿alguien tiene alguna función que tenga 4 o más intersecciones con su inversa (pero no un número infinito de intersecciones)?

Considere, sobre cualquier intervalo finito digamos$X$,$f(x) = x + \sin x$.

Durante el intervalo$X$hay un número finito de intersecciones. El número exacto depende de$X$sí mismo. Pero puede tener cualquier número finito de intersecciones.

Al principio, no estaba seguro de cómo encontrar el inverso de esa función, así que decidí graficarla para verificar mi afirmación y ¡tengo razón!

http://www.wolframalpha.com/input/?i=buscar+inverso+de+f(x)+%3D+x%2Bsin(x)

Tengo un contraejemplo fácil:

Echa un vistazo a la trama de desmos, eso debería convencerte. De hecho, puede aumentar el 10 para obtener arbitrariamente muchas intersecciones.

Como respuesta más general a su pregunta, el número de intersecciones estará relacionado con el número de veces$f$cruza la línea$y=x$ya que el inverso de$f$es solo un reflejo de$f$sobre esa línea.

yo asumo eso$f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$es una biyección, tal que$g$se define en todos$\mathbb{R}$. Esto se puede ajustar a otras situaciones (digamos$\mathbb{R} \rightarrow (0,\infty)$en el caso de la función exponencial, entonces$g$solo se define en$(0,\infty)$.)

Asumir$f(x_0) =x_0$, entonces$g(x_0)=g(f(x_0))=x_0=f(x_0)$, es decir, cada punto$x_0$en el que la gráfica de$f$corta la diagonal de$\mathbb{R}^2$será un punto de intersección de$f$y$g$. Esto tiene sentido gráficamente, ya que tomar la inversa de una función corresponde a reflejar su gráfica en la diagonal.

Esto muestra que puede tener arbitrariamente muchos puntos de intersección de$f$y$g$.

De hecho, puede tener muchas intersecciones arbitrarias con una inversa. Consideremos por ejemplo la función$f(x) = \sin(x) + x$que tiene una inversa en$\mathbb R$(porque es estrictamente monótona casi en todas partes como$f'(x) = \cos(x)+1 \geq 0 \forall x$y$f'(x) = \cos(x)+1 > 0 \forall x \in \pi(\mathbb Z +1/2)$) y tiene infinitas intersecciones discretas con su inversa:

Además de los ejemplos particulares dados en la respuesta anterior, para cualquier función$y=f(x)$, la gráfica de su función inversa$f_{(-1)}(x)$será simétrica con respecto a la diagonal$y=x$.

Si$f(x)$no cruza la diagonal (como$e^x$), por lo que no lo hará a la inversa. Y cualquier cero de$f(x)-x$será lo mismo para$f_{(-1)}(x)-x$, y un punto de cruce de las dos funciones.

Una función puede tener más$3$puntos de intersección con su relación inversa.

Por ejemplo, tome$f(x)=x^4-3x^2+2x-3$.

Encontrar puntos de intersección de$f(x)$y$f^{-1}(x)$:

Entonces, hay$4$puntos de intersección.$4>3$, por lo tanto refutado.