¿Puedes resolver cualquier función matemática?

Una función elemental no necesita tener una inversa elemental. Considerar

cuya inversa es la función Lambert W , que no se puede expresar en términos de funciones elementales (ver aquí ).

Como señaló Golden_Ratio, no siempre hay una forma agradable y cerrada para el inverso de una función elemental. Pero una computadora puede acercarse arbitrariamente a la solución de una función elemental, si existe. Eche un vistazo a la página de Wikipedia sobre algoritmos de búsqueda de raíces .

Supongo que te refieres a resolver una función ($y$es una variable), no resolver una ecuación numérica ($y$es un número). Esos son dos problemas matemáticos diferentes.

Su problema tiene sentido sólo si$x$es una variable para elementos del dominio de la función$f$y$y$es una variable para elementos del rango de la función$f$. Si$x$no es una variable para elementos del dominio de$f$o$y$no es una variable para elementos del rango de$f$, la función no tiene solución.

Una función es una relación entre dos conjuntos (dominio y rango) que asigna exactamente un elemento del rango a cada elemento del dominio. Una función inversa existe solo para funciones biyectivas, pero la relación inversa siempre existe. Su pregunta pide determinar la relación inversa de$f$. Si está buscando funciones en lugar de una relación, puede subdividir la relación inversa en sus ramas (ramas de función), las inversas parciales (significa funciones inversas parciales) de$f$.

Debido a que la relación inversa siempre existe, se puede calcular numéricamente.

También puede solicitar inversas parciales en forma cerrada .

Si$f$es una composición de funciones$f_1,...,f_n$:$f(x)=f_n(f_{n-1}(...(f_2(f_1(x)))))$y los inversos parciales de$f_1,...,f_n$son conocidos/permitidos, los inversos parciales$f^{-1}$de$f$son:$f^{-1}(x)=f_1^{-1}(f_2^{-1}(...(f_{n-1}^{-1}(f_n^{-1}(x)))))$, dónde$f_i^{-1}$es un inverso parcial de$f_i$($i\in\{1,...,n\}$).

Dejar$A$Sea una función algebraica y$f_1,...,f_n$Funciones algebraicamente independientes. no puedes resolver$A(f_1(x),...,f_n(x))=y$para$x$si el dominio de la función$A\circ f_1\circ ...\circ f_n$es un conjunto no discreto y simultáneamente solo$A,f_1,...,f_n$y sus inversas parciales son conocidas/permitidas.

$f$es una función elemental explícita en su ejemplo.

Para inversas parciales elementales de funciones elementales, la independencia algebraica se demuestra implícitamente en el teorema principal de [Ritt 1925] que también se demuestra en [Risch 1979]:
Si$f$y su inversa son ambas elementales, entonces$f(z)=\phi_n\circ\ ...\circ\ \phi_1(z)$, donde cada$\phi_i$es una función algebraica de$z$si no$\exp$o$\ln$.

Véase, por ejemplo, la función$f$con$f(x)=xe^x$de la otra respuesta.
$\ $

[Ritt 1925] Ritt, JF: Funciones elementales y sus inversas. Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 27 (1925) (1) 68-90

[Risch 1979] Risch, RH: Propiedades algebraicas de las funciones elementales de análisis. Amer. J. Matemáticas. 101 (1979) (4) 743-759