¿Cómo promover expresiones algebraicas a operadores en mecánica cuántica?

Bien, sé que en mecánica cuántica el observable cuántico se obtiene del observable clásico por la prescripción

X → X , PAG → − i ℏ ∂ ∂ X

en la base de la posición. Ahora mis preguntas son:

  • Y si X o pag aparece en el denominador en una expresión clásica?

  • ¿Cómo promover esto a una expresión cuántica? ¿Cuál sería el significado de la división por un operador?

Mi expresión probablemente contiene una mezcla de X y pag . Por ejemplo, podría contener términos como

pag X 2
o
X pag ( X 2 + a 2 ) 3 / 2 .

  • Cómo resolver productos de operadores de no desplazamiento como X , pag de manera satisfactoria?
La cuantificación de Weyl se analiza, por ejemplo, en esta publicación de Phys.SE.

Respuestas (2)

El problema general de convertir expresiones clásicas en expresiones de operadores cuánticos es, en general, irresoluble porque la mecánica clásica es una aproximación a la mecánica cuántica y no al revés. Siempre hay una ambigüedad en cómo ordenar a los operadores que no viajan diariamente. Debe manejarlo caso por caso, y existen varios esquemas de "cuantificación". En general, estos pueden conducir a diferentes teorías cuánticas que deben distinguirse experimentalmente.

De todos modos, en su caso, probablemente esté bien usar la descomposición de valores propios:

1 X → 1 X ^ ≡ ∫ d X   | X ⟩ 1 X ⟨ X | ,

1 pag → 1 pag ^ ≡ ∫ d pag   | pag ⟩ 1 pag ⟨ pag | ,

etc donde | X ⟩ , | pag ⟩ son los vectores propios ortonormales de posición y momento resp. Puedes usar ⟨ X | X ′ ⟩ = d ( X − X ′ ) para mostrar que 1 X ^ tiene la acción deseada en los estados propios de posición. También puede generalizar claramente este tipo de cosas, por ejemplo pag → pag ^ ≡ ∫ d pag   | pag ⟩ pag ⟨ pag | . Para dar un ejemplo real, el siguiente operador, llamado resolvente , es muy importante en la teoría de la dispersión cuántica:

R ^ ( z ) = 1 H ^ − z = ∑ norte | norte ⟩ ⟨ norte | mi norte − z ,

dónde z es un número complejo.

Tendrás ambigüedades si la expresión clásica es algo como pag / X o pag X o lo que sea, ya que pag ^ y X ^ no viaje

@guru: la lógica de la respuesta de Michael Brown se puede extender a cualquier función F ( X ) o gramo ( pag ) , que es el asociado a los operadores F ( X ^ ) y gramo ( pag ^ ) . Para cantidades mixtas (x,p), el procedimiento de cuantificación más popular es la cuantificación de Weyl.
Sin embargo, una cosa que uno tiene que considerar es que, por ejemplo, X y pag no tienen una base común (lo que produce el principio de incertidumbre), por lo que si tiene una expresión que depende de ambos, es posible que primero deba encontrar una base propia diferente

Un enfoque diferente al que escribió Michael Brown es usar una expansión de Taylor para convertir tu función del operador en un polinomio. Luego, en principio, puede evaluar la acción de cada término en sus estados y luego contraer la expresión nuevamente. Esto conduce efectivamente a las mismas expresiones que el enfoque de Michael Borwn, pero es posible que se sienta más cómodo con él.

...solo que en este caso preocuparse por la convergencia de la expansión, tanto de valores como de operadores insertados, puede que le devuelva el dolor de cabeza...
Verdadero. Todavía está más cerca de la intuición de un físico imo
Acordado. Además, de esta manera uno podría notar problemas con los operadores que no viajan diariamente.
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