Ambigüedades en el pedido del operador

La ambigüedad de orden es la afirmación, o el "problema", de que para una función clásica$f(x,p)$, o una función de variables de espacio de fase análogas, pueden existir múltiples operadores$\hat f(\hat x,\hat p)$que lo representan. En particular, el hamiltoniano cuántico no está determinado únicamente por el límite clásico.

Esta ambigüedad aparece incluso si requerimos que el operador cuántico correspondiente a una función real sea hermitiano y$x^2 p^2$es la demostración más simple de este problema "más grave". Por un lado, la parte hermitiana de$\hat x^2 \hat p^2$es

$$\hat x^2 \hat p^2 - [\hat x^2,\hat p^2]/2 = \hat x^2\hat p^2 -i\hbar (\hat x\hat p+\hat p\hat x)$$ donde usé tu conmutador.

Por otro lado, también podemos escribir clásicamente el producto y agregar los sombreros como$\hat x \hat p^2\hat x$que ya es hermitiano. Pero

$$\hat x \hat p^2\hat x = \hat x^2 \hat p^2+\hat x[\hat p^2,\hat x] = \hat x^2\hat p^2-2i\hbar\hat x\hat p$$ donde se ve que la corrección es diferente porque $\hat x\hat p+\hat p\hat x$no es del todo igual a $2\hat x\hat p$(hay otro, $c$-conmutador valorado por el que se diferencian). Entonces, incluso cuando considera las partes hermitianas de los operadores "correspondientes" a las funciones clásicas, habrá varios operadores posibles que pueden ser la respuesta. los $x^2p^2$es el ejemplo más simple y las dos respuestas que obtuvimos diferían por un $c$-número. Para potencias superiores o funciones más generales, los posibles operadores cuánticos pueden diferir por $q$-números, operadores no triviales, también.

Esto es visto como un problema profundo (quizás una descripción demasiado excesiva) por parte de los físicos que estudian varios modelos mecánicos cuánticos efectivos, como aquellos con una masa dependiente de la posición, donde necesitamos$p^2/2m(x)$en la energía cinética y por una expansión de$m(x)$alrededor de un mínimo o un máximo, podemos obtener la$x^2p^2$problema sugerido anteriormente.

Pero la ambigüedad no debería sorprender porque es la mecánica cuántica, y no la física clásica, la que es fundamental. El hamiltoniano cuántico contiene toda la información, incluido todo el comportamiento en el límite clásico. Por otro lado, uno no puede "reconstruir" la respuesta cuántica completa a partir de su límite clásico. Si conoces el límite$\lim_{\hbar\to 0} g(\hbar)$de una variable$g(\hbar)$, claramente no significa que conozcas toda la función$g(\hbar)$para cualquier$\hbar$.

Muchas personas no entienden este punto fundamental porque piensan en la física clásica como la teoría fundamental y consideran que la mecánica cuántica es solo una guinda confusa en un pastel que, sin embargo, puede obtenerse mediante la cuantización, un procedimiento que consideran canónico y único (solo esa suma) . Es al revés, la mecánica cuántica es fundamental, la física clásica es solo una aproximación derivable válida en un límite, y el proceso de cuantización no está produciendo resultados únicos para un límite clásico suficientemente general.

La ambigüedad del orden también surge en la teoría de campos. En ese caso, todas las correcciones ambiguas son en realidad divergentes, debido a singularidades de corta distancia, y la definición adecuada de la teoría cuántica requiere que uno entienda la renormalización. Al final, lo que realmente debería interesarnos es el espacio de teorías cuánticas relevantes/consistentes, no "la contraparte cuántica correcta" de una teoría clásica (esta última no es fundamental, por lo que no debe estar al principio o base). de nuestras derivaciones).

En el enfoque de ruta integral, uno trata efectivamente con campos clásicos y sus funciones clásicas, por lo que las ambigüedades de orden parecen estar ausentes; en realidad, todas las consecuencias de estas ambigüedades reaparecen de todos modos debido a las divergencias UV que deben ser regularizadas y renormalizadas. El proceso de regularización y renormalización depende de la resta de varios contratérminos divergentes para obtener la respuesta finita, que tampoco es del todo única (el acoplamiento sobrante finito puede ser cualquier cosa).

Es por eso que las ambigüedades de renormalización son solo las ambigüedades de orden en un idioma diferente. Ya sea que estudiemos esas cosas como ambigüedades de ordenación o ambigüedades de renormalización, la lección es clara: el espacio de las posibles teorías clásicas no es lo mismo que el espacio de las posibles teorías cuánticas y no deberíamos pensar en las respuestas clásicas cuando realmente queremos. hacer otra cosa: resolver los problemas de la mecánica cuántica.