¿Pueden las geodésicas en una variedad lorentziana cambiar su carácter?

Hay una cantidad conservada para las geodésicas que proviene del hecho de que la métrica$g_{ab}$es (trivialmente) un tensor Killing, es decir

$$\nabla_{(c}g_{ab)} = 0.$$

Cualquier tensor$\xi_{ab}$que satisface$\nabla_{(c}\xi_{ab)}=0$da lugar a la cantidad conservada$\epsilon = u^a u^b\xi_{ab}$, que se conserva a lo largo de geodésicas para las cuales$u^a$es el vector tangente. Para ver esto, escribimos

$$\frac{d}{d\lambda}\epsilon = u^a\nabla_a\epsilon=u^a\nabla_a(u^bu^c\xi_{bc}) = u^au^bu^c\nabla_a\xi_{bc}+u^c\xi_{bc}u^a\nabla_a u^b+u^b\xi_{bc}u^a\nabla_au^c$$

Los tres términos de la RHS se desvanecen. El primer término es simétrico en los índices inferiores, por lo que es cero porque asumimos$\xi_{ab}$es un tensor de Killing. Los dos segundos son proporcionales a la aceleración de$u^a$, que se desvanece ya que asumimos que$u^a$es tangente a las geodésicas. Entonces encontramos

$$\frac{d}{d\lambda}\epsilon=0$$

ahora tomando$\xi_{ab} = g_{ab}$, ya que tenemos un tensor de Killing, la cantidad$\epsilon = g_{ab}u^au^b$tiene que ser constante. Pero para nuestro vector tangente normalizado a$0$o$\pm1$,$\epsilon$solo nos dice si$u^a$es espacial, temporal o nulo. Entonces, matemáticamente, el vector tangente de una geodésica no puede cambiar su normalización (y por lo tanto no puede cambiar entre espacial, temporal o nulo) porque es una cantidad conservada a lo largo de las geodésicas.