¿Cómo derivar la fórmula para el radio de una esfera de Fermi?

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¿Cómo derivar la fórmula para el radio de una esfera de Fermi?

Física
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principio de exclusión de Pauli

gjert

Estoy tratando de averiguar cómo el radio de una esfera de Fermi

{pag}_{F} = ℏ (3 π^{2} \frac{norte}{V})^{1 / 3}

$p_F = \hbar (3 \pi^2 \frac{N}{V})^{1/3}$ se deriva de la fórmula

d {norte}_{s pag a t i a yo} = \frac{V d^{3} pag}{ℏ^{3}} .

$dN_{spatial}=\frac{V \ d^3p}{\hbar^3}.$ La solución dice que debo llegar a lo siguiente

\frac{2 V}{(2 π ℏ)^{3}} \cdot \frac{4 π}{3} {pag}_{F}^{3} .

$\frac{2V}{(2 \pi \hbar)^3} \cdot \frac{4\pi}{3}p_F^3.$ Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo debo actuar después de lo siguiente

2 \int d {norte}_{s pag a t i a yo} = \frac{2 V}{ℏ^{3}} \int d^{3} pag = ?

$2\int dN_{spatial} = \frac{2V}{\hbar^3}\int d^3p= \ ?$ Me encantaría recibir ayuda para resolver esto, y si tiene algún recurso web, también lo aceptaré con gusto (he intentado buscar en Google desde hace un tiempo).

Respuestas (1)

¿Cómo derivar la fórmula para el radio de una esfera de Fermi?

caverna · Answer 1

Creo que debería ser $h$ en el denominador de tu segunda ecuación,

d norte = \frac{V}{h^{3}} d^{3} pag

${\rm d}N = \frac{V}{h^3}{\rm d}^3{\bf p}$

Integrando en ambos lados, y teniendo en cuenta la degeneración

norte = \frac{2 V}{h^{3}} \int d^{3} pag = \frac{2 V}{h^{3}} \int d Ω \int_{0}^{{pag}_{F}} d pag {pag}^{2} = \frac{2 V}{h^{3}} \frac{4 π}{3} {pag}_{F}^{3}

$N = \frac{2 V}{h^3} \int{\rm d}^3 {\bf p} = \frac{2 V}{h^3} \int {\rm d}\Omega\int_0^{p_F}{\rm d}p ~p^2 = \frac{2V}{h^3} \frac{4\pi}{3} p_F^3$

Usando $2\pi\hbar = h$ usted obtiene

norte = \frac{2 V}{(2 π ℏ)^{3}} \frac{4 π}{3} {pag}_{F}^{3}

$N = \frac{2V}{(2\pi \hbar)^3} \frac{4\pi}{3}p_F^3$

y a partir de aqui solo es cuestion de llegar $p_F$

{pag}_{F} = ℏ {(3 π^{2} \frac{norte}{V})}^{1 / 3} = ℏ k_{F}

$p_F = \hbar \left(3\pi^2 \frac{N}{V} \right)^{1/3} = \hbar k_F$

Tienes razón, parece un error tipográfico en el ejercicio. Sin embargo, ¿podría explicar la parte de $\int d\Omega$ con degeneración?
Esa es la integral del ángulo sólido. $d \Omega = \sin(\theta) d\theta d\phi$
@PhyCoMath Es solo una versión corta de la integración sobre el ángulo. $\int {\rm d}\Omega = \int_0^{2\pi}{\rm d}\phi \int_0^{\pi}{\rm d}\theta\sin \theta$
@caverac Oh, nunca antes había visto esa notación. Gracias por iluminarme :)

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gjert

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CuriosoHegemon

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