Mientras estudiaba mecánica rotacional, me encontré con una sección en la que se menciona que el momento angular puede no ser necesariamente paralelo a la velocidad angular. Mis pensamientos fueron los siguientes:
Momento angular ( ) tiene la relación dónde es la velocidad angular y es el momento de inercia, por lo que siguiendo esta relación, parece que deberían estar en la misma dirección. ¿Por qué no lo son?
Considere un bloque rectangular delgado con ancho , altura descansando a lo largo del plano xy como se muestra a continuación.
La masa del bloque es . El momento de inercia de masa (tensor) del bloque con respecto al punto A es
Esto se derivó de la definición (como se ve en https://physics.stackexchange.com/a/244969/392 )
Si este bloque está girando a lo largo del eje x con una velocidad de rotación
Como puede ver, hay una componente del momento angular en la dirección y . El vector de momento angular forma un ángulo
En la siguiente figura, se ve la dirección del momento angular y el círculo alrededor del cual el centro de masa orbitará debido a la precesión.
Aprobación física, aparentemente ya sabes que el momento de inercia tensor (tensor de inercia para abreviar) es de hecho un tensor en lugar de un escalar. Si fuera un escalar, entonces, por definición, el momento angular y la velocidad angular siempre serían paralelos. Este no es necesariamente el caso debido a que la naturaleza tensorial del momento de inercia es tensorial.
El tensor de inercia de un cuerpo rígido tridimensional arbitrario expresado en un conjunto arbitrario de ejes cartesianos ortogonales se puede expresar en términos de una matriz de 3x3 que es (a) simétrica y (b) semidefinida positiva. Estos dos hechos hacen que siempre se pueda elegir un conjunto de ejes ortogonales en los que el tensor de inercia sea diagonal. Hay tres casos distintos para una matriz diagonal de 3x3:
En el primer caso, siempre será paralelo a . En el segundo caso, es paralelo a si está dirigido a lo largo del eje de simetría o tiene componente cero a lo largo de ese eje. En el tercer caso, es paralelo a si y solo si es paralela a uno de los ejes propios del tensor de inercia.
Suponga que el tensor de inercia (cuando se ortogonaliza) tiene tres elementos distintos y que la velocidad angular tiene al menos dos elementos distintos de cero cuando se expresa en términos del sistema de coordenadas que hace que el tensor de inercia sea ortogonal. En este caso,
Prueba: y son paralelos (o antiparalelos) sólo si es el vector cero. De lo anterior, esto es
Esto solo se cumple cuando el producto de inercia es 0.
Del álgebra matricial, multiplicar un vector (nx 1) (x) por una matriz (nxn) (A) escalará los componentes del vector en la dirección del vector propio por los valores propios respectivos.
Juan Alexiou
dmckee --- gatito ex-moderador
Emilio Pisanty