La derivada covariante de norma y su sustitución

Question

La derivada covariante de norma y su sustitución

Mella

Me preguntaba si habría una diferencia (en general) si tuviera que introducir la derivada covariante de calibre

D_{m} = \partial_{m} + i mi A_{m}

$D_\mu=\partial_\mu+ieA_\mu$ En la densidad lagrangiana y luego derivar las ecuaciones de movimiento. O si tuviera que derivar las ecuaciones de movimiento y luego introducir la derivada covariante de calibre.

Verifiqué esto para las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac donde no hizo ninguna diferencia.

Mi conjetura es que no haría ninguna diferencia ya que introducimos este para hacer que nuestro sistema (acción, ecuaciones de movimiento, ...) sea invariante de calibre. Así que realmente no importa en qué punto introduciría la derivada covariante de calibre.

Pero no estoy seguro si este razonamiento es correcto...

Para hacer que la pregunta sea realmente básica, supongo que se trata de la pregunta: "¿Siempre necesitamos introducir las simetrías locales en la acción, o podemos esperar con eso hasta las ecuaciones de movimiento?"

EDITAR: También creo firmemente en el hecho de que simplemente sustituye la derivada covariante en la acción para introducir sus interacciones (este es el camino a seguir ya que el teorema de Noether funciona con la acción y este teorema garantiza las cantidades conservadas).

Ahora estoy estudiando "Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics" de Halzen & Martin, y cuando estudian QED de partículas de spin-0 (capítulo 4 en mi edición, que aparentemente es la edición de 1984) introducen el calibre derivada covariante en las ECUACIONES DE MOVIMIENTO en lugar de la acción.

En algún lugar, esto tiene algo de lógica para mí, ya que si su sistema es invariante bajo algún tipo de simetría, las ecuaciones de movimiento también deberían ser invariantes para este tipo de transformación (de lo contrario, dos soluciones relacionadas por una transformación de simetría no producirían el mismo resultado). Creo que esto es lo que están demostrando aquí (arxiv.org/abs/0907.2301), pero no estoy seguro de hasta qué punto llega esto.

Por supuesto (como se dice en un comentario a una de las respuestas), si quieres dar tu vectorfield $A_\mu$ una dinámica general necesita la teoría de Yang-Mills y algún tipo de término cinético para este campo, en este caso necesita un Lagrangiano para "unificar" ambas dinámicas.

EDIT2: la respuesta de @ QMechanic también ofrece una muy buena versión esquemática de la pregunta (solo como referencia).

Mella

Creo que aquí se proporciona una prueba de mi afirmación: arxiv.org/abs/0907.2301

Cazador

No estoy completamente seguro de lo que está preguntando, pero haré este comentario: si introduce campos de indicador en la acción, entonces la corriente de Noether también se ajusta. Para las teorías no abelianas, la corriente a menudo (¿siempre?) ya no es invariante de calibre. Esto significa que la corriente de Noether ya no es observable. No obtendría esto si pusiera los campos de indicador ``a mano'' en el EOM. Si esto responde a su pregunta, puedo hacer una publicación un poco más larga.

Respuestas (2)

La derivada covariante de norma y su sustitución

Creo que aquí se proporciona una prueba de mi afirmación: arxiv.org/abs/0907.2301
No estoy completamente seguro de lo que está preguntando, pero haré este comentario: si introduce campos de indicador en la acción, entonces la corriente de Noether también se ajusta. Para las teorías no abelianas, la corriente a menudo (¿siempre?) ya no es invariante de calibre. Esto significa que la corriente de Noether ya no es observable. No obtendría esto si pusiera los campos de indicador ``a mano'' en el EOM. Si esto responde a su pregunta, puedo hacer una publicación un poco más larga.

Sourav · Answer 1

No estoy seguro de lo que quieres decir con "marcar la diferencia".

La derivada covariante se introduce en la densidad lagrangiana para agregar simetría de calibre local a la acción. Una teoría de campo dada se describe por su Acción. Por lo tanto, si la Acción no tiene una simetría particular, no puede introducir la simetría más adelante.

Al "hacer una diferencia", si quiere decir una diferencia en las consecuencias físicas, entonces hará una diferencia si no introduce la derivada covariante en la densidad lagrangiana misma. Tomando su ejemplo de la teoría del campo escalar complejo, la densidad lagrangiana completa es,

$(1/2)(D_{\mu}\phi)^{*}D^{\mu}\phi-(1/4)F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-V(\phi,\phi^{*})$

El primer término da el término cinético para su campo escalar y un término de interacción con $\phi, \phi^{*}, A^{\mu}$ acoplado. El segundo término es el término cinético para $A^{\mu}$ , mientras que el término es un término de interacción con $\phi$ y $\phi^{*}$ .

Si no tiene la derivada covariante en su densidad lagrangiana, no tiene la interacción entre el campo escalar complejo y el campo de calibre y, por lo tanto, es una gran diferencia para la física. En QED eso significaría que la dispersión de Compton y mucho de lo que sucede en la naturaleza no sucederá.

Sigo totalmente tu razonamiento y ese también fue uno que hice (junto con el hecho de que si quieres que tu vectorboson $A_\mu$ para ser un campo independiente, necesita el segundo término cinético que no puede exigir después), por lo que para eso +1. Ahora la cuestión era introducir interacciones, ¿no podemos sustituir la derivada invariante de calibre en las ecuaciones de movimiento en lugar de la acción? Esto también se hace en Halzen & Martin (ver edición de mi pregunta).

qmecanico · Answer 2

OP está reflexionando si la extremización de la acción conmuta con la receta de acoplamiento mínimo (MC), es decir, si el siguiente diagrama conmutaría:

\begin{array}{ccc} Densidad lagrangiana & Densidad lagrangiana \\ L (ϕ (X), \partial ϕ (X), A (X), F (X), X) & \overset{MC}{⟶} & L (ϕ (X), D ϕ (X), A (X), F (X), X) \\ extremización ↓ & ↓ extremización \\ mi (ϕ (X), \partial ϕ (X), \partial^{2} ϕ (X), A (X), & \overset{MC}{⟶} & mi (ϕ (X), D ϕ (X), D^{2} ϕ (X), A (X), \\ F (X), \partial F (X), X) = 0 & F (X), D F (X), X) = 0 \\ MOE & MOE \end{array}

$\begin{array}{ccc} \text{Lagrangian density} && \text{Lagrangian density} \cr {\cal L}(\phi(x),\partial\phi(x),A(x),F(x),x) &\stackrel{\text{MC}}{\longrightarrow} & {\cal L}(\phi(x),D\phi(x),A(x),F(x),x) \cr\cr \text{extremization}\downarrow &&\downarrow \text{extremization}\cr\cr {\cal E}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial^2\phi(x),A(x), &\stackrel{\text{MC}}{\longrightarrow} & {\cal E}(\phi(x),D\phi(x),D^2\phi(x),A(x),\cr F(x),\partial F(x),x)=0 & & F(x),D F(x),x)=0\cr \text{EOMs} && \text{EOMs} \end{array}$

Aquí $\phi(x)$ es la abreviatura de varios campos de materia.

No. Hay varios problemas con esta propuesta. Por ejemplo, la extremización wrt. $A_{\mu}$ de QED (escalar) antes del acoplamiento mínimo produciría las ecuaciones de Maxwell sin términos de fuente de materia. Un procedimiento de acoplamiento mínimo posterior no repararía esto. Este hecho está relacionado con la respuesta de Sourav.

gracias por la aclaración de la pregunta, ese es un esquema realmente agradable de la pregunta. Ahora bien, también pensé que estaba mal, pero veo que muchos textos hacen esto como una primera introducción (en el caso de que el $A_\mu$ -field no tiene una dinámica independiente (por lo que en QED un campo EM constante o $A_\mu$ -campo). Siempre exigimos nuestras simetrías en la acción (ya que supongo que es la forma más fundamental), mi pregunta es si hay casos en los que está bien imponer simetría después de pasar por las ecuaciones de Euler-Lagrange.

La derivada covariante de norma y su sustitución

Mella

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Cazador

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Sourav

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qmecanico

Mella

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