Invariancia de calibre y hamiltoniano dependiente del tiempo

En general, en la mecánica cuántica podemos demostrar que la corriente de probabilidad o la ecuación de Schrödinger y otras cantidades son invariantes de calibre. Sin embargo, el hamiltoniano no es invariante de calibre. Bajo una transformación de calibre, el operador hamiltoniano cambia (¿o he entendido mal?) ¿Significa esto que el hamiltoniano no describe una cantidad física verdadera como en la mecánica clásica? Cerrando, si lo anterior es correcto, ¿tiene algún efecto en el principio de mínima acción?

Gracias.

Nota: El hamiltoniano es:

H F = 1 2 metro [ PAG − q A ( R , t ) ] 2 + q tu ( R , t )
Después de una transformación de calibre:
H gramo = 1 2 metro [ PAG − q A ′ ( R , t ) ] 2 + q tu ′ ( R , t )
. Así, tenemos
H F ≠ H gramo

¿De qué transformación de calibre estás hablando? En general, el hamiltoniano es invariante de calibre, si la cuantificación del sistema de calibre se lleva a cabo correctamente.
Tenemos un campo electromagnético.
¿Puedes escribir el hamiltoniano en cuestión?
Sí. Espera un minuto y haré una edición de la pregunta. Pero, ¿por qué es relevante (¿el campo juega un papel?)

Respuestas (2)

¿Significa esto que el hamiltoniano no describe una cantidad física verdadera como en la mecánica clásica?

Incluso en la mecánica clásica, el hamiltoniano para una partícula en el campo externo EM es una función

H ( r , pag ) = ( pag − q C A ( r , t ) ) 2 2 metro + q ϕ ( r , t )

dónde A , ϕ son cualquiera de las funciones válidas que describen el mismo campo EM externo.

La forma del hamiltoniano (dependencia de los potenciales y $\mathbf r,\mathbf p) es única, pero su valor no lo es; depende de la elección de las dos funciones anteriores ("elección del calibre").

Esta falta de unicidad no es gran cosa, ya que la función hamiltoniana es principalmente un concepto teórico que es útil para formular las leyes y derivar otras leyes; su no unicidad no es necesaria para ese uso.

En la física clásica, las leyes y sus consecuencias también se pueden formular de forma independiente del calibre con campos EM. mi , B solo. Los potenciales y el hamiltoniano se pueden evitar.

La situación con la dependencia del calibre es similar a aquella en la que la energía cinética tiene un valor que depende del sistema inercial para el que se evalúa. El valor depende del marco, pero no plantea ningún problema para su uso.

@JanLalinsky: Gracias. una pregunta: si entiendo bien, lo que dices es que el hamiltoniano, incluso en la mecánica clásica, es una función herramienta que contiene funciones escalares que llamamos potenciales? Pero. ¿No es a través de la formulación hamiltoniana o lagrangiana que derivamos el principio de acción mínima? ¿No es eso, en nuestra teoría, un principio físico relativo a las leyes, o una interpretación de ellas, del universo?
Una corrección: funciones escalares o vectoriales que llamamos potenciales.
Sí, es una herramienta (similar a, digamos, un programa de computadora que permite configurar la representación de un circuito eléctrico en una computadora y simular su comportamiento, una representación imperfecta de lo que realmente sucede, en principio algo prescindible).
¿Es correcto conectar lo anterior con el principio de mínima acción?
¿Qué quieres decir? El principio y los gustos de Hamilton se pueden formular de varias formas, una de las cuales utiliza la función hamiltoniana. Sin embargo, es más común formular el principio y los gustos de Hamilton con la función Lagrangiana.
Usando la función de Hamilton o la función Lagrangiana, mi preocupación es cómo la declaración anterior y la explicación de su respuesta afectan la interpretación del principio de acción de Hamilton. ¿Es el principio de Hamilton un principio sobre la forma en que funciona la naturaleza? En caso afirmativo, ¿cómo, si las funciones anteriores (L, H) son solo herramientas?
El principio de Hamilton es una forma abstracta de formular ecuaciones de movimiento. Estas son herramientas también. No tenemos control directo sobre las verdaderas formas de la naturaleza.

El problema es que el campo electromagnético y sus transformaciones de calibre se tratan aquí de manera clásica : no son operadores de la teoría cuántica, sino que se "agregan" porque queremos describir cómo un objeto cuántico interactúa con el campo electromagnético sin tratar el campo EM en sí. como un objeto cuántico.

La "invariancia de calibre" en esta teoría semicuantificada se manifiesta por la ecuación de Schrödinger que es invariante de calibre, es decir, por la dinámica que es independiente del calibre. El hamiltoniano en sí mismo no es "invariante de calibre" porque el campo de calibre no ha sido cuantificado, y no hemos pasado a un espacio de estados donde los estados físicos son invariantes de calibre.

La forma correcta de obtener la invariancia de calibre manifiesta de la teoría es cuantificar el campo electromagnético, es decir, dejar A m convertirse en un campo cuántico valorado por operadores. Sin embargo, esto pertenece al ámbito de la QFT en toda regla y, por lo tanto, no se realiza en el enfoque ad-hoc de la mecánica cuántica clásica para las interacciones con el campo electromagnético. (Tampoco es necesario obtener muchos buenos resultados)

Gracias por la respuesta. ¿Qué quiere decir con "Tampoco es necesario obtener muchos buenos resultados".
@ConstantineBlack: Uh... precisamente lo que digo. A menudo, no es necesario cuantificar el campo EM para obtener el comportamiento adecuado de un objeto cuántico que interactúa con el campo.
¿Necesitamos o deseamos que el hamiltoniano (en mecánica clásica o cuántica) sea invariante de calibre? Si es así, ¿puede sugerir un lugar que haga un análisis sobre el tema? Usted escribió en su comentario anterior que, en general, el hamiltoniano es invariante de calibre: ¿es diferente la discusión aquí physics.stackexchange.com/questions/94699/… ? Esta publicación establece que nos preocupamos por que los observables sean invariantes de calibre y que el hamiltoniano es simplemente una herramienta teórica matemática. ¿Sugerencia de lectura? (clásica + cuántica).
¿Tal vez debería publicar lo anterior como una pregunta diferente?
@ConstantineBlack: El tratamiento definitivo (y bastante difícil ) de las teorías de calibre en el contexto clásico y cuántico es Cuantización de las teorías de calibre de Henneaux y Teitelboim. De hecho, el hamiltoniano no necesita ser invariante de calibre "manifiestamente", puede ser que haya restricciones de segunda clase cuyo conmutador / soporte de Poisson con el hamiltoniano sea distinto de cero. Sin embargo, estos corchetes/conmutadores son solo sumas de restricciones y, por lo tanto, desaparecen en la superficie de restricción/espacio físico de los estados.
..... "Cuantización de sistemas de calibre " por Henneaux y Teitelboim.
Invariancia de calibre y hamiltoniano dependiente del tiempo
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v