¿Puede una función normalizable *siempre* descomponerse en el espectro de hidrógeno discreto?

En respuesta a la pregunta del título: no, no siempre se puede descomponer un$L_2$función en términos de sólo el espectro unido de hidrógeno.

Esto se debe a que existen funciones ortogonales para todos los estados ligados, que naturalmente representan los estados libres del electrón. Los ejemplos más rápidos son, por supuesto, las funciones propias de onda de Coulomb$|\chi_{E,l,m}⟩$del espectro continuo del hidrógeno, y estos no son normalizables, pero se pueden tomar combinaciones de la forma

Esto se aclara aún más en esta respuesta de Arnold Neumaier y en esta pregunta ; una respuesta anterior a esta pregunta establece que las ondas continuas de Coulomb no son formalmente parte del espacio de Hilbert, pero eso no significa que su "tramo" informal no lo sea.

Para obtener más información sobre estas cosas (incluidas las pruebas formales de ortogonalidad y (no) completitud, etc.), me gustan las Lecciones sobre mecánica cuántica para estudiantes de matemáticas de LD Faddeev y OA Yakubovskii y Mecánica cuántica para matemáticos de LA Takhtajan (con una punta de sombrero a Anatoly Kochubei aquí por las referencias).

Si desea un ejemplo concreto de algo que se ubicará fuera del alcance del espectro limitado, simplemente tome un paquete de ondas gaussianas que vaya lo suficientemente rápido,

Como se señaló en el comentario de Ruslan, la función de onda en$(1)$ debe incluir un soporte distinto de cero fuera de la variedad de estado ligado, porque cualquier combinación de la forma$\sum_{n,l,m}a_{n,l,m}|n,l,m⟩$siempre tendrá un valor esperado negativo de la energía, mientras que el estado en$(1)$tendrá energía esperada positiva siempre que$k$y$1/\sigma$son lo suficientemente grandes. Eso se reduce a un cálculo de rutina, por lo que no lo realizaré aquí, pero el núcleo es obvio por consideraciones físicas y si realmente le importa, entonces es un procedimiento de rutina para convertirlo en un argumento riguroso.

En cualquier caso, no estoy seguro de cómo alguna de estas respuestas no estaba clara, pero para ser completamente explícito:

• Los estados propios del continuo de ondas de Coulomb del hamiltoniano hidrogenado son ortogonales a los estados ligados. (Los autoestados mismos no están en$L^2$, a través del habitual galimatías de estado no normalizable, pero pueden ser combinaciones lineales de ellos, y permanecerán ortogonales a los estados ligados.)

• Los estados ligados del hamiltoniano hidrogenado no son una base completa para$L^2(\Bbb R^3)$.

Su pregunta no incluye ningún ejemplo específico de fuentes que afirmen lo contrario, por lo que es imposible comentar más sobre por qué tuvo la impresión incorrecta de que no hay consenso sobre ninguno de los dos puntos anteriores.

Si integra la colección de estados continuos del átomo de hidrógeno, ponderados por una función suave, sobre un conjunto abierto y acotado en el espacio de parámetros en términos del cual se parametriza este conjunto, obtiene un estado normalizable ortogonal a todos los estados de energía discretos. .