La respuesta de Neuneck es la descripción más concisa de cómo se obtienen estados normalizables como superposiciones de estados no normalizables, pero lo siguiente es más un "por qué" ocurren estos estados. Con suerte, debería ver que esta discusión es independiente del número de dimensiones.

Hablando en términos prácticos, la razón por la que siempre hay tales estados es porque los observables cumplen la relación de conmutación canónica$[X,P]=i\,\hbar\,I$tienen vectores propios que no son normalizables.

En realidad, no hay ninguna razón por la que debamos tener vectores propios, por lo que, en un nivel más profundo, las razones básicas por las que siempre hay estados no normalizados son (1) conveniencia: la necesidad de manejo de la descripción matemática y (2) el ingenio matemático de las personas que nos dieron esta descripción matemática manejable y útil, sobre todo el genio de (en orden histórico aproximado), Paul Dirac, Laurent Schwartz, Alexander Grothendieck e Israel Gel'Fand. Esta discusión mantiene las ideas intuitivas de los vectores propios y otras herramientas convenientes sobre una base unificada y rigurosa.

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Ideas de puesta a tierra

El escenario básico para la mecánica cuántica es el espacio de Hilbert, es decir, un espacio vectorial completo (en el sentido de que cada secuencia de Cauchy converge en un miembro del espacio) equipado con un producto interno (los espacios de Banach son un concepto más débil y más general: ser un vector completo espacios equipados simplemente con una norma (la norma en un espacio de Hilbert proviene del producto interno de un vector consigo mismo).

Entonces, intuitivamente, es un espacio vectorial complejo como$\mathbb{C}^N$sin "agujeros" para que podamos hablar sobre límites y hacer cálculos sin preocuparnos de si existen límites y, en donde podemos hablar sobre superposición lineal y en donde podemos "resolver" vectores únicamente en componentes a través del producto interno. Así que es más o menos el espacio de estado de cualquier sistema físico, además de ser complejo, lo cual es un poco inusual.

Ahora nos fijamos en la idea de un funcional lineal en un espacio de Hilbert$\mathcal{H}$. Esto es simplemente una función lineal .$L:\mathcal{H}\to\mathbb{C}$mapeo del espacio de Hilbert$\mathcal{H}$al campo subyacente (en este caso$\mathbb{C}$. El producto interior de algún "sujetador" fijo$\ell\in\mathcal{H}$, es decir, la función$x\mapsto\left<\ell,x\right>$es claramente un caso especial de esta noción funcional lineal. Sin embargo, en el espacio de Hilbert, cada funcional lineal continuo puede ser representado por un producto interno de "sujetador fijo" y, dado que cada producto interno de sujetador fijo induce claramente un funcional lineal continuo, las ideas de funcional lineal continuo y producto interno con un sujetador fijo son precisamente la misma noción : esta equivalencia NO se cumple en ningún espacio vectorial antiguo. Esta propiedad de equivalencia clave es especial para los espacios de Hilbert y es el tema del teorema de representación de Riesz (consulte la página Wiki de este nombre) . Entonces el dual continuo (topológico)$\mathcal{H}^*$de$\mathcal{H}$, siendo un nombre poncy para el espacio vectorial de funciones lineales continuas en$\mathcal{H}$, es isomorfo al espacio de Hilbert original .

Se puede demostrar que es una definición alternativa y completamente equivalente de "espacio de Hilbert" como la anterior (es decir, un espacio de producto interno completo) es:

Un espacio de producto interior que es isomorfo a su espacio dual de funcionales lineales continuos .

Todo esto es muy ingenioso y atractivo para describir cosas como la mecánica cuántica. También es muy fácil en sistemas cuánticos de dimensión finita, como por ejemplo , un electrón restringido a una superposición de estados de espín hacia arriba y hacia abajo. En dimensiones finitas, no hay ninguna diferencia entre las nociones de funcional lineal continuo y la más general de simplemente funcional lineal (*es decir, sin tener en cuenta la continuidad).

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Manipulación del espacio de Hilbert: estados no normalizables

En dimensiones infinitas, como con el espacio de estado cuántico del oscilador armónico o el electrón unido a un potencial, nos encontramos con una falla:

No todos los funcionales lineales son continuos.

OOOPS: así como codiciamos el iPhone 5 de nuestro vecino cuando tenemos "solo" el modelo 4, también codiciamos un concepto más fuerte que el espacio de Hilbert en el que una actualización de software haría que todas las funciones lineales "útiles" fueran continuas.

Menos frívolamente, aquí es donde nos ponemos prácticos. En mecánica cuántica, necesitamos implementar el principio de incertidumbre de Heisenberg, por lo que necesitamos observables hermitianos. $\hat{X}$y$\hat{P}$cumpliendo la relación de conmutación canónica (CCR)$[\hat{X},\,\hat{P}]=i\,\hbar\,I$(ver mi respuesta aquí y aquí ). No es demasiado difícil demostrar que un espacio cuántico que realmente implementa el HUP no puede ser de dimensión finita; si lo fuera, entonces$\hat{X}$y$\hat{P}$tendría representaciones de matriz cuadrada y el corchete de mentira$[\hat{X}, \hat{P}]$entre cualquier par de matrices cuadradas finitas tiene un rastro de cero, mientras que el lado derecho del CCR ciertamente no tiene un rastro de cero. Entonces los consideramos operadores en el espacio de Hilbert$\mathbf{L}^2(\mathbb{R}^N)$, que es un espacio de Hilbert con dimensionalidad$\aleph_0$, es decir, tiene vectores base contablemente infinitos, por ejemplo, las funciones propias de la$N$-Oscilador armónico dimensional. Los vectores en este espacio de Hilbert son "funciones de onda cotidianas"$\psi:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^N$tal como lo concibió Schrödinger con la propiedad crucial de normalizabilidad :

$$\int\limits_{\mathbb{R}^N} |\psi(\vec{x})|^2\,{\rm d}^N x < \infty$$

Ahora, por conveniencia, queremos trabajar en coordenadas donde uno de$\hat{X}$y$\hat{P}$es el operador de multiplicación simple$X \psi(x) = x\,\psi(x)$. En mi respuesta muestro aquí que esto significa que hay coordenadas donde$X \psi(x) = x\,\psi(x)$y, con necesidad$\hat{P} \psi(x) = -i\,\hbar \,{\rm d}_x \psi(x)$.

Sin embargo, ninguno de estos operadores está definido en todo nuestro espacio de Hilbert. $\mathcal{H} = \mathbf{L}^2(\mathbb{R}^N)$: hay vectores (funciones)$f$en$\mathbf{L}^2(\mathbb{R}^N)$( por ejemplo, funciones con discontinuidades de salto) que no tienen definido$P\,f\in\mathcal{H}$, debido a que la derivada no está definida en la discontinuidad. Asimismo, algunas funciones normalizables$g$no tienen definido$X\,g\in\mathcal{H}$; multiplicación por$\vec{x}$los hace no normalizables (testigo, por ejemplo, la función$f(x) = (1+x^2)^{-1}$).

Además, ninguna de estas funciones tiene vectores propios en$\mathcal{H}$: si$X\,f(x) = \lambda f(x) = x f(x)\,\forall x\in\mathbb{R}$después$f(x) = 0$por$x\neq\lambda$y la función propia$e^{i\,k\,x}$de$P$no es normalizable.

Pero queremos salvar la idea de los estados propios y aún poder escribir nuestros estados en coordenadas de posición o momento.

Aquí es donde entra la noción de Rigged Hilbert Space : el ingenioso proceso en el que equipamos un subconjunto denso$S\subset H$del espacio de Hilbert original$H$("arreglarlo") con una topología más fuerte, de modo que cosas como el delta de Dirac se incluyan en el espacio dual topológico$S^*$dónde$S\subset H\subset S^*$.

Para QM tomamos el subconjunto denso$S$ser las funciones "suaves" que todavía pertenecen a$\mathcal{H}$cuando mapeado por cualquier miembro del álgebra de operadores generado por$X$y$P$. Eso es,$S$es invariante bajo esta álgebra y comprende precisamente el espacio de funciones de Schwartz que puede ser multiplicado por cualquier polinomio y diferenciado cualquier número de veces y todavía pertenecer a$\mathcal{H}$. Cualquier función en$\mathcal{H}$puede aproximarse arbitrariamente bien (con respecto a la norma del espacio de Hilbert) mediante alguna función en$S$.

Al mismo tiempo, equipamos el subconjunto denso$S$con una topología más sólida que la del espacio de Hilbert original. ¿Por qué hacemos esto? Uno de los problemas básicos de$\mathcal{H}$es que el delta de Dirac$\delta:\mathbf{L}^2(\mathbb{R})\to \mathbb{C};\;\delta\;f(x) = f(0)$, que puede interpretarse como un vector propio de$X$, no es un funcional lineal continuo en$\mathcal{H}$aunque por supuesto es un funcional lineal. Para ver esto, considere la imagen de$f(x) + \exp(-x^2/(2 \sigma^2)$bajo el delta funcional: podemos elegir un$\sigma$para hacer esta función arbitrariamente cerca de$f(x)$medida por el$\mathbf{L}^2$norma, pero con imágenes$f(0)$y$f(0)+1$, respectivamente, bajo el Dirac$\delta$. Así que equipamos el subconjunto denso$S$una topología que sea lo suficientemente fuerte como para "descubrir" todos los funcionales lineales útiles y hacerlos continuos. Ahora tenemos un dual topológico (espacio de todos los funcionales lineales continuos con respecto a la topología más fuerte)$S^*$de$S$tal que$S\subset\mathcal{H} = \mathcal{H}^*\subset S^*$.

$S^∗$es el espacio de distribuciones temperadas como se discutió en mi respuesta aquí .$S^∗$incluye el delta de Dirac,$e^{i\,k\,x}$y se mapea biyectivamente, isométricamente sobre sí mismo mediante la transformada de Fourier. Intuitivamente, las funciones y sus transformadas de Fourier son precisamente la misma información para las distribuciones temperadas. Esto se relaciona con el hecho de que la posición y la coordenada de impulso se relacionan entre sí mediante la transformada de Fourier y su inversa.

Así que ahí lo tenemos. Ahora tenemos un espacio de sujetadores$S^*$eso es estrictamente más grande que el espacio de kets$\mathcal{H}$e incluye necesariamente, mediante la construcción del espacio amañado de Hilbert, sujetadores no normalizables en$S^*\sim\mathcal{H}$simplemente para que podamos discutir los estados propios de todos los observables que necesitamos de una manera rigurosa.

Buenas referencias para esta noción son:

1. Esta respuesta a la pregunta de Physics Stack Exchange "Rigged Hilbert space and QM" y también
2. Las discusiones bajo la pregunta de desbordamiento matemático "¿Buenas referencias para espacios Rigged Hilbert?"

En este último, las sospechas de Todd Trimble son correctas de que el triple Gel'Fand habitual es$S\subset H = \mathbf{L}^2(\mathbb{R}^N)\subset S^*$con$S$,$S^∗$siendo el espacio de Schwartz y las distribuciones templadas como se discutió en mi respuesta aquí . El artículo de Wikipedia sobre el espacio de Hilbert amañado es un poco ligero aquí: hay una gran cantidad de detalles sobre los espacios nucleares que se pasan por alto, por lo que en la primera lectura le sugiero que tome un ejemplo específico.$S$= espacio de Schwartz y$S^∗$= Distribuciones templadas y mantenga este ejemplo relativamente simple (y, para QM más relevante) exclusivamente en mente: para QM no necesitará nada más. El espacio de Schwarz y el espacio de distribuciones temperadas son automáticamente nucleares, por lo que no debe preocuparse demasiado por esta idea en la primera lectura.

Los estados dispersos son de hecho no normalizables. Esto se debe a que una onda plana es un estado no físico (que, por ejemplo, puede ver al intentar calcular la incertidumbre de Heisenberg, que se leerá$\Delta x \cdot \Delta p = \infty \cdot 0 = ??$).

Para crear un estado físico, debe especificar las condiciones de contorno, es decir, una función de onda física en un momento dado.$\Psi(t = 0)$. Esto siempre se puede escribir como superposición de ondas planas.

$$\Psi(t=0) = \int \mathrm dE \; \tilde g(E) \psi(E)$$ dónde $\tilde g$es el "envoltorio" de su función y el $\psi(E)$son las soluciones de la ecuación de Schroedinger independiente del tiempo $$\hat H \psi(E) = E \cdot \psi(E)$$ Si esto se cumple, su función de onda completa $\Psi(t)$cumplirá la ecuación de Schroedinger dependiente del tiempo .