Construcción de una ecuación diferencial a partir de un hamiltoniano arbitrario

Supongamos que empiezo con la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

( − 1 2 metro ∂ X 2 + V ( X ) ) ψ norte ( X ) = mi norte ψ norte ( X ) ,
ordinariamente especificamos la función V y luego resolver para un conjunto de funciones propias y valores propios. Y solo para ser un poco más generales, hacemos lo mismo con las ecuaciones de Sturm-Liouville, que escribiré en términos del operador de cantidad de movimiento y una función adicional tu ,
( pag ^ tu ( X ^ ) pag ^ + V ( X ^ ) ) ψ norte = mi norte ψ norte .

Ahora nada nos impide definir un nuevo operador hamiltoniano con los mismos vectores propios pero diferentes valores propios arbitrarios λ norte ,

H ^ ψ norte = λ norte ψ norte
¿Bajo qué condiciones se puede representar esta ecuación de valor propio para el nuevo hamiltoniano como una ecuación diferencial (no necesariamente de segundo orden) en X con las mismas funciones propias? En otras palabras, ¿cuándo H ^ pertenecen al álgebra de operadores generada por X ^ y pag ^ ?

Veo si defino los nuevos valores propios por algunos norte -función independiente F de los valores propios originales λ norte = F ( mi norte ) , puedo llegar a una nueva ecuación diferencial, pero ¿esto agota las posibilidades?

Respuestas (1)

Después de pensarlo, siempre que los valores propios originales no sean degenerados, debería ser posible representar el nuevo hamiltoniano mediante una ecuación diferencial de orden arbitrariamente alto. La clave es que los operadores de proyección PAG norte sobre las funciones propias existen en el álgebra generada por el hamiltoniano original H 0 ^ .

Por ejemplo, digamos que el valor propio enésimo es mi norte = 2 , y no hay otros valores propios entre 3 y 1. Entonces podemos elegir una función indicadora F norte ( X ) tal que F norte ( 2 ) = 1 pero F norte ( X ) = 0 si X es menor que 1 o mayor que 3. Dada suficiente continuidad , se aplica el teorema de Stone-Weierstrass y podemos representar F por una base polinomial

F norte ( X ) = ∑ k C norte , k X k .
Entonces el operador
PAG norte ≡ F norte ( H ^ ) = ∑ k C norte , k H 0 ^ k
se proyectará sobre la función propia con valor propio 2. Los detalles de que esto funciona a pesar de que estamos tratando con sumas infinitas vienen en las pruebas de la dualidad de Gelfand .

Dado que los proyectores están en el álgebra generada por H ^ 0 , el hamiltoniano arbitrario H ^ también está en el álgebra

H = ∑ norte λ norte PAG norte = ∑ norte , k λ norte C norte , k H 0 ^ k ,

y dado que el hamiltoniano original se puede expandir en términos de funciones de ∂ X y X , el hamiltoniano H ^ también puede, aunque ahora en general la ecuación diferencial será de orden arbitrariamente alto.

Consejo: \hat{H}_0se ve mucho mejor que \hat{H_0}( H ^ 0 contra H 0 ^ ).
Tenga en cuenta que no es necesario aplicar Stone-Weierstrass. (a) solo se aplica en un dominio compacto, y (b) proporciona aproximaciones polinómicas uniformemente buenas, pero siguen siendo solo aproximaciones, que (c) no necesitan converger, e incluso cuando lo hacen (d) no necesitan seguir siendo polinómicas.
Muy ingenuamente, si puedes encontrar un F tal que λ norte = F ( mi norte ) , entonces simplemente puede tomar F ( H ^ 0 ) . Puedes hacer una interpolación polinomial para encontrar una aproximación polinomial a F .
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