Estados de dispersión del átomo de hidrógeno en la teoría de la perturbación no relativista

Question

Estados de dispersión del átomo de hidrógeno en la teoría de la perturbación no relativista

Física
hidrógeno
dispersión
espacio de hilbert
mecánica cuántica
teoría de la perturbación

eduardo ross

Al hacer la teoría de la perturbación independiente del tiempo de segundo orden en la mecánica cuántica no relativista, uno tiene que calcular la superposición entre los estados

{mi}_{norte}^{(2)} = \sum_{metro \neq norte} \frac{| ⟨ metro | H^{'} | norte ⟩ |^{2}}{{mi}_{norte}^{(0)} - {mi}_{metro}^{(0)}}

$E^{(2)}_n ~=~ \sum_{m \neq n}\frac{|\langle m | H' | n \rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}$

(dónde $E^{(k)}_n$ representa la corrección de orden k al nivel de energía n).

Para el átomo hidrogénico, el espectro del hamiltoniano consiste en un conjunto discreto correspondiente a "estados ligados" (los estados de energía negativa) y un continuo de "estados de dispersión" (los estados de energía positiva).

¿Hay algún ejemplo en el que la superposición entre un estado ligado y los estados de dispersión haga una contribución medible a la energía en el régimen perturbativo? ¿Deberían incluirse los estados de dispersión en los cálculos perturbativos? ¿Hay resultados experimentales que respalden esto? (Por ejemplo, quizás la interacción electrón-electrón en estados altamente excitados de helio).

Aparte, ¿qué "es" el espacio de Hilbert del átomo de hidrógeno en la representación de posición? A menudo he leído que la base de los estados propios del átomo de hidrógeno hamiltoniano no está completa sin los estados de dispersión, pero no he visto ningún argumento convincente al respecto. He leído que los estados de límite radial son densos en $L^2((0, \infty))$ (por ejemplo, aquí ), por lo que al incluir los estados de dispersión, el espacio de Hilbert debe contener estrictamente esto.

Respuestas (2)

Estados de dispersión del átomo de hidrógeno en la teoría de la perturbación no relativista

Arnold Neumaier · Answer 1

Los estados de dispersión deben incluirse en los cálculos perturbativos para que el resultado sea muy preciso. En particular, no está justificado ignorar el espectro continuo a energías cercanas al umbral de disociación.

El espacio de Hilbert en la representación de posición es el espacio de funciones cuadradas integrables en $R^3\setminus\{0\}$ con respecto al producto interior

⟨ ϕ | ψ ⟩ := \int \frac{d X}{| X |} ϕ (X)^{*} ψ (X) .

$\langle\phi|\psi\rangle:=\int \frac{dx}{|x|}\phi(x)^*\psi(x).$ Los estados ligados por sí solos no son densos en este espacio.

Para tratamientos completos del espectro del hidrógeno, véanse los libros de
G R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras & Some of Their Applications, Wiley 1974, Dover, 2002. pp. 427-430
y
AO Barut y R. Raczka, Theory of grouprepresentations y aplicaciones, 2do. ed., Warzawa 1980. Capítulo 12.2.

Gracias, eso tiene sentido para mí. Los estados ligados son completos en el subespacio de funciones cuadradas integrables en $R^3 \setminus \{0\}$ con respecto al producto interior $\langle\phi|\psi\rangle:=\int dx\phi(x)^*\psi(x)$ y los estados de dispersión son el complemento ortogonal de este subespacio en el espacio de Hilbert que mencionaste. Aunque me sorprende que sea $\frac{dx}{|x|}$ y no $\frac{dx}{|x|^2}$ .
La potencia del denominador es realmente 1 y no 2. Este producto interior singular es relevante para obtener una representación unitaria del grupo de simetría dinámica $SO(4,2)$ de hidrogeno
@Jiang-minZhang: puede entenderlo volviendo al producto interno habitual mediante una transformación de las funciones de onda en $\bar\psi(x):=|x|^{-1/2}\psi(x)$ . Luego obtienes el producto interno estándar de las funciones de onda transformadas. En cambio, ahora debe preocuparse por las condiciones de contorno correctas en $x=0$ .

preguntarse · Answer 2

Su pregunta principal fue "¿Hay algún ejemplo en el que la superposición entre un estado ligado y los estados de dispersión haga una contribución medible a la energía en el régimen perturbativo?"

En realidad, no estoy de acuerdo con la declaración de la otra respuesta de que los estados de dispersión deben incluirse en los cálculos perturbativos solo si el resultado debe ser muy preciso. De hecho, en cuanto al átomo de hidrógeno, si tomas, como un ejemplo simple, el potencial perturbativo $\epsilon/r$ , que el continuo en segundo orden representa DOS TERCIOS de la contribución total! Si lo tomas $\epsilon/r^2$ , es incluso el 75%!

Para ver otros ejemplos, consulte los siguientes artículos:

Aquí puede ver que "la contribución continua a la suma es a veces bastante grande y, en casos extremos, representa todo menos un pequeño porcentaje del total".
Para un ejemplo de libro de texto, puede echar un vistazo a Schiff (p.263-265), donde el efecto Stark del átomo de hidrógeno se resuelve con la contribución continua.

Si te interesa, puedo proporcionarte más material.

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