Enfoque para expresar |n⟩⟨n||n⟩⟨n||n\rangle\langle n| como un polinomio cuando los valores propios son degenerados?

Question

Enfoque para expresar |n⟩⟨n||n⟩⟨n||n\rangle\langle n| como un polinomio cuando los valores propios son degenerados?

Ánodo

Si ${|n\rangle}$ son vectores propios de un operador $A$ entonces $|n\rangle\langle n|$ se puede expresar en términos de un polinomio de orden finito

| norte ⟩ ⟨ norte | = \prod_{metro \neq norte} \frac{A - a_{metro}}{a_{norte} - a_{metro}}

$|n\rangle\langle n| =\prod_{m\ne n} \frac{A-a_m}{a_n-a_m}$

si los valores propios $a_n$ de $A$ son distintos. Estoy buscando una manera de hacer algo similar pero con valores propios degenerados.

Mi dificultad es que la derivación de esta relación comienza considerando el producto $\prod_{m\ne n}(A-a_m) \mathbf{I}$ y luego usa la relación $\mathbf{I}=\sum_k | k\rangle\langle k|$ para proceder al resultado anterior. Comenzando con el producto excluyendo el $n=m$ término es un poco incómodo ya que no me permite generalizar a un caso donde dos valores propios son iguales.

Para el caso de valores propios degenerados, ¿puedo excluir términos adicionales del producto para obtener el resultado deseado? Solo estoy buscando una pista sobre cómo abordar esto, no una solución elaborada.

Emilio Pisanty

¿No es esto más una función racional que un polinomio?

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qmecanico · Answer 1

Sugerencias:

Asumir que $H$ es un espacio de Hilbert complejo.
Asumir que $A:H\to H$ es un operador normal $^1$ . Entonces una versión del Teorema Espectral dice que $A$ es ortonormalmente diagonalizable.
Dejar $(\lambda_i)_{i\in I}$ denote el conjunto de diferentes valores propios de $A$ con las multiplicidades correspondientes $(m_i)_{i\in I}$ .
Dejar $P_i$ ser el operador de proyección ortogonal en el espacio propio $\ker(A-\lambda_i {\bf 1})\subseteq H$ .
Entonces la generalización de la fórmula de OP dice
${PAG}_{i} = \prod_{j \in I ∖ {i}} \frac{A - λ_{j}}{λ_{i} - λ_{j}} .$ $P_i ~=~ \prod_{j\in I\backslash\{i\}} \frac{A-\lambda_j}{\lambda_i-\lambda_j}.$

--

$^1$ Ignoraremos las sutilezas con operadores ilimitados , dominios, extensiones autoadjuntas , etc., en esta respuesta.

En resumen, denota el espacio propio para el valor propio $\lambda_i$ . De manera equivalente, es el kernel para el operador $A-\lambda_i {\bf 1}$ .
Si, por ejemplo, tuviera \lambda_2=\lambda_3 e i=1..3 entonces multiplicaría i=1,2 ?
El mapa $I\ni i\mapsto \lambda_i\in \mathbb{C}$ se supone implícitamente que es inyectiva en mi terminología.

Enfoque para expresar |n⟩⟨n||n⟩⟨n||n\rangle\langle n| como un polinomio cuando los valores propios son degenerados?

Ánodo

Emilio Pisanty

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