¿Por qué se garantiza la existencia de los productos internos de las funciones propias de un operador con un espectro de valores propios discretos?

Estaba leyendo un libro de texto y se hizo la declaración de que se garantiza que los productos internos existen si el espectro de valores propios del operador es discreto. No he encontrado apoyo para este reclamo, y la base de este reclamo no fue evidente de inmediato después de un largo tiempo de consideración en mi nombre. Además, mientras intentaba deducir la respuesta, llegué al complemento de mi primera pregunta: ¿por qué un espectro continuo de valores propios de un operador conduce a funciones propias no normalizables (es decir, los productos internos no existen)?

Respuestas (4)

El espectro de un operador lineal acotado A es por definición el conjunto de números λ dónde A − λ no es invertible. En el caso de dimensión finita, esto significa A − λ no es ni inyectiva ni sobreyectiva, y la primera declaración es solo una forma elegante de decir que existe un vector propio; como este vector propio es por definición una parte del espacio de Hilbert, es en particular normalizable.

Sin embargo, en el caso de dimensión infinita, inyectiva y sobreyectiva ya no son equivalentes y el espectro se descompone en espectro puntual, espectro continuo y espectro residual.

El espectro de puntos es la parte del espectro en la que el mapa no es inyectivo (puede que no sea difícil probar que es realmente discreto, demasiado perezoso para investigarlo ahora). El espectro residual está vacío para los operadores normales (y, por lo tanto, en particular, los operadores autoadjuntos), lo que deja el espectro continuo donde el mapa es inyectivo (y, por lo tanto, no hay vectores propios) pero no sobreyectivo. El concepto de vector propio simplemente no tiene sentido para el espectro continuo en este formalismo.

La situación se confunde (o, dependiendo de su punto de vista, se desenreda) en el formalismo de los espacios de Hilbert amañados, que es el marco adecuado para el tratamiento de operadores ilimitados: los espacios de Hilbert amañados nos permiten introducir 'vectores propios' que son No es parte de nuestro espacio Hilbert. En particular, en el caso del espacio de Hilbert L 2 , pueden ser funciones no normalizables (p. ej., ondas planas) o no funciones en absoluto (p. ej., distribuciones delta).

Para una explicación completa, consulte un libro de análisis funcional.

Pero para puntos discretos del espectro, uno puede escribir explícitamente el operador de proyección en el espacio propio correspondiente:

El resolvente del operador tiene polos en los puntos discretos del espectro y el residuo de dicho polo es el operador de proyección en el espacio propio correspondiente, consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Resolvent_formalism .

@Christoph también capturó esto en su publicación, y me gustaría reconocerlo. Todas estas respuestas me han ayudado a darme cuenta de que la pregunta que estaba haciendo no tiene una respuesta simple como implicaba el autor del libro de texto que estaba leyendo; además, creo que una comprensión completa requerirá algunos años más de estudio en matemáticas de mi parte. Gracias a todos.
Comentario a la respuesta (v1): la mayoría de los libros matemáticos sobre análisis funcional simplemente tratarían a los operadores (acotados e ilimitados) como viviendo en un espacio de Hilbert (estándar) (donde el producto interno existe por definición). La pregunta del título de OP (v1) solo se vuelve no trivial si uno va más allá del marco de los espacios de Hilbert estándar, por ejemplo, en el contexto de los espacios de Hilbert amañados .
@Qmechanics: la pregunta (v1) tampoco es trivial en los espacios estándar de Hilbert, ya que no todos los valores del espectro son valores propios. Entonces, uno tiene que probar que los puntos aislados del espectro son de hecho valores propios.
La pregunta del título (v1) se refiere solo al espectro de valores propios (= espectro puntual), no al espectro completo.
@BielsNohr Creo que su comentario a Christoph describe un enfoque muy sabio. También encuentro muchas cosas en la física: las deducciones se hacen sin ninguna prueba que resista el escrutinio de un matemático. A menudo, se hace implícitamente un "postulado físicamente razonable": aquí hacemos una suposición implícita de que es físicamente razonable restringir nuestra teoría a observables cuyas funciones propias tienen productos internos que se comportan bien de la manera que usted describe. Desearía que más autores fueran un poco más directos acerca de sus suposiciones: no hay nada de malo en hacerlas: después de todo, es física.

Aquí hay una respuesta parcial a la pregunta (v1). OP tendría que proporcionar detalles y suposiciones matemáticamente más precisos para garantizar que un vector propio (para un operador H con espectro discreto) tiene norma finita, es decir, es normalizable. Por ejemplo, en el marco de los espacios amañados de Hilbert .

Contraejemplo: Dominio D := C ∞ ( R ) = funciones infinitamente a menudo diferenciables de valores complejos en la línea real R . Norma:

| | F | | 2   :=   ∫ R d X   | F ( X ) | 2   .

Deje que el operador H := 0 ser el operador cero, tomando todas las funciones F a la función cero 0 . (Mencionemos que la pareja ( H , D ) puede modificarse para convertirse en un operador autoadjunto , pero omita los detalles aquí). El espectro es discreto

s pags mi C ( H ) = { 0 } .

Cualquier función F ∈ D ∖ { 0 } es una función propia para H con valor propio 0 , pero la norma | | F | | 2 no es necesariamente finito.

Esto no está en el espíritu de la pregunta, tampoco hay necesidad de modificación. H ya es trivialmente autoadjunto. No es razonable llamar a este espectro discreto, ya que es discreto con una infinidad continua de degeneración, y el OP claramente pregunta sobre un espectro de puntos discretos.
Respuesta a los comentarios: 1. De acuerdo con mi lectura de la pregunta de OP (v1), esta respuesta aborda el espíritu de la pregunta de OP, es decir, si es posible o no justificar matemáticamente algunos conocimientos de física que OP había leído. 2. Los detalles relacionados con la autoadjunción se omitieron por brevedad, ya que no se especificó el dominio del operador adjunto. 3. Un operador con espectro discreto puede tener espacios propios de dimensión infinita por definición.
Para 1, es posible justificar esta "tradición" (probablemente sea un teorema, no una "tradición"). Para 2, no hay detalles! El operador cero siempre es autoadjunto, al igual que todos los múltiplos de la identidad, en cualquier dominio. Negarse a decirlo es infundir miedo ignorante: los problemas (triviales y sin importancia) de la autoadjunción aparecen para los operadores con derivadas en los casos en que las condiciones de contorno no permiten la integración por partes. 3. Un operador con espectro discreto en este problema obviamente no está permitido, debido a este ejemplo trivial.
1. El enunciado de OP sólo se convierte en teorema si especifica los supuestos pertinentes. 2. Técnicamente, si el dominio D ( H † ) asignado al operador adjunto H † es diferente del dominio D ( H ) de H , después H no es autoadjunto (en el sentido matemático de la palabra).
1. Se supone que debes encontrar las suposiciones razonables (si las hay) que hacen que el teorema sea verdadero, en este caso, que el espectro no tiene degeneración continua. 2. Conozco el "sentido matemático" de autoadjunto (no hay otro sentido), y en mecánica cuántica, los dominios siempre se identifican por el hecho de que es un espacio de Hilbert, por lo que esta complicación no existe, es solo una vieja táctica de miedo de los matemáticos que ya no funciona, porque cualquiera puede buscar autoadjunto en Wikipedia.
1. En la definición habitual, un espectro es el conjunto de valores propios, es decir, un espectro no depende de si los valores propios son degenerados o no. 2. Un dominio de un operador no es necesariamente un espacio de Hilbert. Además, si está disponible un producto interno (como lo es por definición de un espacio de Hilbert), entonces la pregunta del título (v1) se convierte en una trivialidad.
@Qmechanics: a "En la definición habitual, un espectro es el conjunto de valores propios": No, el espectro de un operador A es el conjunto de valores λ tal que λ - A no es biyectiva.
@jjcale: Sí, tienes razón. Di la definición de un espectro puntual en lugar de un espectro, y debería haberlo dicho.

La pregunta complementaria es la verdadera pregunta aquí. Si tiene un conjunto continuo de vectores, podría haber una discontinuidad, en cuyo caso el producto interno dependería de cómo se acerque a la discontinuidad. En ese caso podemos decir que el producto interior no existe. Esto no es un problema con un conjunto discreto de vectores.

Todavía no tengo del todo claro el asunto, y creo que simplemente has cambiado mi pregunta (supongo que estoy buscando algo más fundamental que lo que me has dado). Dijiste que "podría" haber una discontinuidad... pero ¿qué garantiza esto (o es una garantía)? ¿El espacio de Hilbert tiene discontinuidades inherentes cuando vas al nivel continuo? (disculpe mi posible uso incorrecto de la terminología matemática no es mi fuerte).
¿Por qué se garantiza la existencia de los productos internos de las funciones propias de un operador con un espectro de valores propios discretos?
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