¿El operador hermitiano H=−d2dx2H=−d2dx2H=-\frac{d^2}{dx^2} tiene valores propios imaginarios?

Sus "valores propios imaginarios" no funcionan, porque las funciones propias no son funciones propias. no mienten en$L^2$, como usted parece ser consciente de.

Entonces, tratemos con el Laplaciano mismo:$-\Delta=-\frac{d^2}{dx^2}$. Lo que quiero hacer es calcular la transformada de Fourier de este operador, porque la transformada de Fourier diagonaliza$-\Delta$, como veremos. De la forma diagonal, podemos leer el espectro y así concluir que el espectro consiste en$\mathbb{R}^+$. Por supuesto, no respondo a la pregunta "¿por qué$e^{ikx}$son suficientes de verdad$k$", simplemente porque es una pregunta sin sentido en el escenario del espacio de Hilbert.

Hagamoslo. tomar una función$\psi\in L^2(\mathbb{R})$y calcula:

donde integramos por partes dos veces (usando eso$\psi$necesariamente se desvanece en el infinito) y luego se diferencia$e^{ikx}$. Esta fórmula significa que$\mathcal{F}$diagonaliza el laplaciano, porque acabamos de ver que la transformada de Fourier del laplaciano$\mathcal{F}(-\Delta)\mathcal{F}^*$es un operador de multiplicación. La idea ahora es que a partir de un operador de multiplicación, podemos leer el espectro: es el rango esencial del operador de multiplicación. Solo a partir de la definición, podemos ver que esto será$[0,\infty)$en nuestro caso, por lo tanto$\sigma(-\Delta)=[0,\infty)$.

En ningún momento hablamos de$e^{ikx}$, entonces, ¿cómo resolver el$e^{ikx}$con imaginario$k$¿negocio? No tiene que hacerlo: ninguna de estas funciones está en$L^2$, pero: si ahora pones$\psi(x)=e^{ikx}$con verdadero$k$(porque$k$es real en la transformada de Fourier!), entonces parece que es una función propia de$-\Delta$. En otras palabras: si imaginas un espacio cuya base son las funciones$e^{ikx}$, entonces la transformada de Fourier del Laplaciano es simplemente la matriz infinita con valores propios$k^2$en la diagonal Sin embargo, ¡esta no es la imagen rigurosa!

Editar: aquí se puede encontrar una muy buena explicación con más matemáticas: https://math.stackexchange.com/questions/766479/what-is-spectrum-for-laplacian-in-mathbbrn Tenga en cuenta que esto no es matemática fácil, pero para entender los puntos más finos de este negocio, no puedes evitarlo.

En primer lugar, si$k =: i\kappa$es imaginario, el valor propio ("energía") es$-\kappa^2$, es decir, real pero negativo:

Físicamente, esa es una onda evanescente en una dirección, pero crece sin límites en la otra, así que si su espacio es todo$x\in\mathbb R$, no es una función de onda válida por razones físicas muy tangibles: no es normalizable. La razón subyacente es que su energía es más pequeña que el mínimo del potencial en el que vive. Cualquier conferencia o libro introductorio de QM debe cubrir esto, y también presentar este tipo de función de onda (probablemente en el contexto de barreras potenciales finitas).

Para el lado más formal y matemático de las cosas, se debe recomendar este documento: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069 .

En cuanto a las ondas planas, tampoco son estados realmente válidos (físicamente, una partícula nunca tendrá un momento perfectamente definido), pero son convenientes para trabajar y, a menudo, adecuadas (situación prototípica: un haz de partículas que incide sobre un objetivo descrita por una onda plana). Cuando una sola onda plana no es lo suficientemente buena (para ser más realistas, una partícula podría describirse como un paquete de ondas), aún puede hacer una descomposición en términos de ondas planas, es decir, una transformada de Fourier. Su estado real (buen comportamiento, matemáticamente válido) puede describirse como una suma sobre ondas planas.