Triple conjetura pitagórica primitiva con pi (ππ\pi)

Wolfram MathWorld, en su artículo sobre triples pitagóricos, dice:

Lehmer (1900) demostró que el número de soluciones primitivas con hipotenusa menor que N satisface

$$\lim_{n \to \infty} {\Delta_p(N) \over N} = {1 \over 2\pi} = 0.1591549\cdots$$

y tomando el recíproco da tu resultado. Este documento se puede encontrar en Google Books , y su conjetura se da en la discusión en las páginas 327-328. Sin embargo, la prueba parece basarse en una gran cantidad de aparatos teóricos; No conozco una prueba "simple".

Un argumento heurístico suelto utiliza el tipo de resultado:

Al elegir dos números enteros al azar, la probabilidad de que sean primos relativos es$\frac{6}{\pi^2}$

Este es un resultado "más o menos" porque en realidad estamos hablando de densidad, no de probabilidad.

Todo triple primitivo se puede escribir$u^2-v^2,2uv,u^2+v^2$con$\gcd(u,v)=1$,$u-v$es impar.

Entonces$f(n)$se puede ver como el número de pares$v<u$con$u^2+v^2\leq n$y$\gcd(u,v)$y$u-v$es impar.

Pero entonces$g(n)$, el número de pares$u^2+v^2\leq n$es aproximadamente$\frac{\pi n}{4}$, ya que es el número de puntos de la red en un cuadrante de un círculo de radio$\sqrt{n}$. De esos, aproximadamente$\frac{6}{\pi^2} g(n)$tener$\gcd(u,v)=1$, y de esos, sobre$\frac{2}{3}$tener$u-v$impar (porque ya hemos excluido los casos en los que$u,v$ambos son pares.) Y la mitad de ellos tienen$v<u$.

Entonces, en total, obtienes:

$$f(n)\approx \frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{6}{\pi^2}\frac{\pi n}{4}=\frac{1}{2\pi} n$$

Hacer todo esto riguroso requeriría un esfuerzo para obtener límites en las diversas estimaciones, pero estos son los fundamentos de por qué esto$\frac{n}{f(n)}$converge a$2\pi$- estas estimaciones resultan ser "suficientemente buenas".