La paradoja de la escalera, o por qué π≠4π≠4\pi\ne4

Question

La paradoja de la escalera, o por qué π≠4π≠4\pi\ne4

Deoghare Pratik

¿Qué tiene de malo esta prueba?

Es $\pi=4?$

JJ

El problema es que no se acerca al círculo de una manera "suave".

ross milikan

Sólo para valores muy grandes de

π

$\pi$

Federico Meyer

Puede hacer el mismo "truco" con un triángulo, "contrarrestando" el teorema de Pitágoras.

Raskolnikov

Las longitudes de las curvas ciertamente forman una serie que cubre hasta un límite superior para

π

$\pi$ . :P Los comentarios en la fuente son muy graciosos.

jonas meyer

Casi se hizo ley que

π = 4

$\pi=4$ (y

3.2

$3.2$ ) en Indiana en 1897: en.wikipedia.org/wiki/Indiana_Pi_Bill

Mike Spivey

Una pregunta relacionada (una dimensión más alta) es esta: math.stackexchange.com/questions/6979 .

ryan budney

Supongo que una pregunta relacionada sería: "¿cuánto dura un slinky?" La respuesta, por supuesto, depende de si el slinky está en su estado de "reposo/encajonado" o si está extendido. En el ejemplo anterior, estás midiendo la longitud del círculo con un slinky "comprimido", pero estás llamando a su longitud la longitud del slinky "estirado". Es como un truco de magia, pero donde la magia está en la falta de precisión de lo que estás tratando de medir.

Bey

No puedo creer que reddit haya encontrado su camino aquí...

Tomas Ahle

La prueba de tontos para ver que no converge a un círculo: Su perímetro es 4.

NS

La parte divertida es que la imagen en realidad SÍ prueba que

π < 4

$\pi <4$ . De hecho, el área del círculo es

\frac{π}{4}

$\frac{\pi}{4}$ , y después de la primera iteración, el área del dodecágono es estrictamente menor que 1. Y como áreas, el proceso de limitación sería correcto....

plátano rojo

Supongo que esta prueba es más viable.

Trin Azul

¿Alguien ha tratado de elevar al cuadrado el área interior para ver cuál sería el límite inferior?

usuario59671

π = a r g (i) = 3 π = 4

$\pi=arg(i)=3\pi=4$ . entonces

4

$4$ es multivaluado al igual que

π

$\pi$ .

asaf karaguila

¿Cómo pueden las respuestas estar desactualizadas? ¿Alguien cambió las matemáticas y no me informaron?

TrueDefault

¿Y si el diámetro no fuera 1, sino como 8? nose solo una sugerencia

Félix Marín

@xport ¡Supongo que el! en la última foto significa "sorpresa!!!". Fue una desafortunada coincidencia.

Gerrit

Mi primera experiencia de programación, utilizando gráficos de tortugas, consistió en dibujar un círculo: "repetir 360: adelante 1, derecha 1". Esto arruinó la idea de un círculo en mi mente de 9 años durante años.

DanielWainfleet

También puede leer sobre el "Indiana Pi Bill de 1897" en el libro "Una breve historia de Pi".

Inquisitivo

En cálculo, el perímetro del círculo no sería aproximado por la suma de los lados de los pequeños rectángulos. En cambio, el perímetro del círculo sería aproximado por las sumas de las hipotenusas de esos pequeños rectángulos. Solo por intuición, puedes decir que las sumas de las hipotenusas son una mejor aproximación para el perímetro de un círculo.

NSJOHN

@RossMillikan Lo siento, no entiendo lo que quiere decir con "Solo para valores muy grandes de

π

$\pi$ "

ross milikan

@NSJOHN: es una alusión a un viejo chiste donde tratas una constante, aquí

π

$\pi$ , como una variable. Tu podrias decir

\sqrt{2} \approx 1.5

$\sqrt 2 \approx 1.5$ para grandes valores de

2

$2$ .

Narasimham

Curva de Koch, Copo de nieve, Fractal Weierstrass P....

Doug Spoonwood

Esto NO es un problema para el método de Arquímedes. El método de Arquímedes utiliza polígonos inscritos Y polígonos circunscritos, de modo que el número de lados de ambos tipos de polígonos aumenta iterativamente. Esto pone a pi como una cantidad entre dos números racionales a priori .

Arte simplemente hermoso

La llamada "fuente" no tiene nada que ver con la pregunta y es muy inapropiada, así que la eliminé. O es un enlace roto. Lo dejé para que ahora no se pueda ver directamente.

señor pastel

Estas diciendo eso

π = 1 \times 2 \times 3 \times 4

$\pi = 1\times 2\times 3\times 4$ ?? :)

usuario123641

Si tomas algo concreto que es circular (con un radio de 1) y tomas una cuerda de longitud 4, el proceso que estás haciendo en la imagen es esencialmente agrupar la cuerda más y más cerca del límite de la cosa circular. Pero no estás "ajustando la cuerda" a su alrededor. El hilo tirado es lo que da la circunferencia, no el amontonado.

marcos

... puf. Moraleja de la historia: nunca puedes hacer un círculo cortando esquinas.

jimmy carter

Muchas de las respuestas tienen que ver con responder a esta pregunta con matemáticas rigurosas y de alto nivel. No es satisfactorio tener una "prueba" que sea comprensible con geometría de noveno grado, sino una contraprueba que necesita matemáticas de nivel universitario.

Respuestas (23)

La paradoja de la escalera, o por qué π≠4π≠4\pi\ne4

El problema es que no se acerca al círculo de una manera "suave".
Puede hacer el mismo "truco" con un triángulo, "contrarrestando" el teorema de Pitágoras.
Las longitudes de las curvas ciertamente forman una serie que cubre hasta un límite superior para $\pi$ . :P Los comentarios en la fuente son muy graciosos.
Casi se hizo ley que $\pi=4$ (y $3.2$ ) en Indiana en 1897: en.wikipedia.org/wiki/Indiana_Pi_Bill
Una pregunta relacionada (una dimensión más alta) es esta: math.stackexchange.com/questions/6979 .
Supongo que una pregunta relacionada sería: "¿cuánto dura un slinky?" La respuesta, por supuesto, depende de si el slinky está en su estado de "reposo/encajonado" o si está extendido. En el ejemplo anterior, estás midiendo la longitud del círculo con un slinky "comprimido", pero estás llamando a su longitud la longitud del slinky "estirado". Es como un truco de magia, pero donde la magia está en la falta de precisión de lo que estás tratando de medir.
No puedo creer que reddit haya encontrado su camino aquí...
La prueba de tontos para ver que no converge a un círculo: Su perímetro es 4.
La parte divertida es que la imagen en realidad SÍ prueba que $\pi <4$ . De hecho, el área del círculo es $\frac{\pi}{4}$ , y después de la primera iteración, el área del dodecágono es estrictamente menor que 1. Y como áreas, el proceso de limitación sería correcto....
¿Alguien ha tratado de elevar al cuadrado el área interior para ver cuál sería el límite inferior?
$\pi=arg(i)=3\pi=4$ . entonces $4$ es multivaluado al igual que $\pi$ .
¿Cómo pueden las respuestas estar desactualizadas? ¿Alguien cambió las matemáticas y no me informaron?
¿Y si el diámetro no fuera 1, sino como 8? nose solo una sugerencia
@xport ¡Supongo que el! en la última foto significa "sorpresa!!!". Fue una desafortunada coincidencia.
Mi primera experiencia de programación, utilizando gráficos de tortugas, consistió en dibujar un círculo: "repetir 360: adelante 1, derecha 1". Esto arruinó la idea de un círculo en mi mente de 9 años durante años.
También puede leer sobre el "Indiana Pi Bill de 1897" en el libro "Una breve historia de Pi".
En cálculo, el perímetro del círculo no sería aproximado por la suma de los lados de los pequeños rectángulos. En cambio, el perímetro del círculo sería aproximado por las sumas de las hipotenusas de esos pequeños rectángulos. Solo por intuición, puedes decir que las sumas de las hipotenusas son una mejor aproximación para el perímetro de un círculo.
@RossMillikan Lo siento, no entiendo lo que quiere decir con "Solo para valores muy grandes de $\pi$ "
@NSJOHN: es una alusión a un viejo chiste donde tratas una constante, aquí $\pi$ , como una variable. Tu podrias decir $\sqrt 2 \approx 1.5$ para grandes valores de $2$ .
Esto NO es un problema para el método de Arquímedes. El método de Arquímedes utiliza polígonos inscritos Y polígonos circunscritos, de modo que el número de lados de ambos tipos de polígonos aumenta iterativamente. Esto pone a pi como una cantidad entre dos números racionales a priori .
La llamada "fuente" no tiene nada que ver con la pregunta y es muy inapropiada, así que la eliminé. O es un enlace roto. Lo dejé para que ahora no se pueda ver directamente.
Si tomas algo concreto que es circular (con un radio de 1) y tomas una cuerda de longitud 4, el proceso que estás haciendo en la imagen es esencialmente agrupar la cuerda más y más cerca del límite de la cosa circular. Pero no estás "ajustando la cuerda" a su alrededor. El hilo tirado es lo que da la circunferencia, no el amontonado.
... puf. Moraleja de la historia: nunca puedes hacer un círculo cortando esquinas.
Muchas de las respuestas tienen que ver con responder a esta pregunta con matemáticas rigurosas y de alto nivel. No es satisfactorio tener una "prueba" que sea comprensible con geometría de noveno grado, sino una contraprueba que necesita matemáticas de nivel universitario.

ross milikan · Answer 1

ross milikan

Esta pregunta generalmente se plantea como la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario. Empiezas a ir de una esquina a la opuesta siguiendo el perímetro y observas que la longitud es $2$ , luego tome escalones cada vez más cortos y la longitud es $2$ pero tu camino se acerca a la diagonal. Entonces $\sqrt{2}=2$ .

En ambos casos, se está acercando al área pero no a la longitud del camino. Puede hacer esto más riguroso dividiéndolo en incrementos y siguiendo la demostración de la suma de Riemann. La diferencia de área entre las dos curvas llega a cero, pero la diferencia en la longitud del arco permanece constante.

Editar: hacer que el cuadrado sea más explícito. Imagina dividir la diagonal en $n$ segmentos y una aproximación escalonada. Cada triangulo es $(\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{\sqrt{2}}{n})$ . Entonces el área entre los escalones y la diagonal es $n \frac{1}{2n^2}$ que converge a $0$ . La longitud del camino es $n \frac{2}{n}$ , que converge aún mejor para $2$ .

zach conn

El voto negativo vino de mí. Lo agregué poco después de que publicaras tu respuesta cuando no había otras respuestas para complementar la tuya. Mi razón fue que, en base a cómo he visto a otras personas (no aquí) intentar responder esta pregunta, cualquier cosa que no sea una demostración completamente rigurosa no sería suficiente simplemente porque casi cualquier explicación intuitiva parece plausible en este caso. Más tarde traté de eliminar el voto negativo cuando me di cuenta de que había una variedad de respuestas y que la tuya complementaba muy bien a las demás, pero debido a que había transcurrido una hora no pude (y no puedo) hacerlo.

Mike Spivey

@Zach Conn: Ahora que Ross ha editado su respuesta, creo que puede eliminar su voto negativo si aún desea hacerlo.

ross milikan

No estaba tan preocupado por los puntos como por no satisfacer a un cliente. El comentario de Zach acerca de que hay buenas explicaciones intuitivas que llevan a una conclusión equivocada está bien tomado.

przemoc

Entonces, en otras palabras, el perímetro personalizado en la imagen de OP converge en 4 áreas y el perímetro de los escalones construidos sobre la diagonal converge en 2 áreas, es decir, áreas del rectángulo 1 xa (a = longitud del lado cuadrado). Nitpicking: el área entre los escalones y la diagonal es en realidad n*1/(2n^2).

Super gato

Cuando vi la pregunta, inmediatamente recordé que la paradoja "diagonal" es uno de los libros de acertijos de Dudney. Sin embargo, no creo haber visto lo que consideraría la respuesta "real" allí ni aquí, que es que cada vez que uno subdivide el problema a la mitad, la cantidad de error en cada parte se reduce a la mitad, pero el número de piezas dobles . Para que un límite calculado a través de la reducción del problema sea válido, el error por pieza debe disminuir más rápido de lo que aumenta el número de piezas.

Super gato

Por cierto, en una nota similar, el orador a quien vi hacer el truco de cortar un gran agujero en un pequeño trozo de papel (doblarlo y hacer cortes alternos en el interior y el exterior) dio lo que pensé que era una explicación brillante: al cortar un " normal", los intentos de reducir la superficie son de papel requerido por cada pulgada lineal de parámetro también aumenta la cantidad de papel desperdiciado en el propio agujero y reduce la cantidad de papel disponible para fabricar el perímetro. La técnica de corte "truco" permite adelgazar el perímetro sin aumentar la pérdida de material.

emmanuele paolini

No creo que esto responda la pregunta. El OP ha calculado correctamente la longitud de la escalera y, aparentemente, sabe que

π \neq 4

$\pi \neq 4$ . Entonces él sabe que el razonamiento es incorrecto (o al menos contradictorio) pero pregunta qué paso falla.

usuario185498

Lamento contradecir, y este comentario puede ser estúpido, pero casi todas las respuestas propagan cómo esto está mal, no por qué está mal.

a ellos

tal vez le interese mirar la distancia del taxi

drzaius7

@RossMillikan si cada triángulo tiene base 1/n y altura 1/n, ¿no sería el área de cada triángulo individual (1/2)(1/n)(1/n) y no 1/(n^2) como has indicado?

ross milikan

@drzaius7: sí, hay un factor

2

$2$ . Eso no cambia el argumento de que la suma converge. arreglaré Gracias.

pooja somani

puede ser, depende de cuán precisos seamos.

Anixx

Pero, ¿por qué no podemos decir que en el límite obtenemos un número no real, que no es ni

2

$2$ , ni

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ , pero tiene módulo

2

$2$ y valor regularizado

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ , así como podemos decir que

(- 1)^{\infty}

$(-1)^\infty$ tiene módulo

1

$1$ pero (Cesaro-) valor regularizado

0

$0$ ?

ross milikan

@Anixx: Estamos tomando el límite de los reales que están acotados. Por completud, el límite existe y es real.

Anixx

La pregunta aquí es de qué límite estamos hablando. El límite de la secuencia de longitudes, o la longitud del límite de la curva. Los dos existen pero diferentes. Pero podemos postular que la longitud de la curva resultante no es ninguno de estos límites, sino un límite en un sentido más amplio. como postular que

(- 1)^{\infty}

$(-1)^\infty$ Es ninguno

0

$0$ , ni

1

$1$ .

Anixx

Además, al hablar del límite de la curva solemos entenderlo en el sentido de coordenadas, pero no en el sentido de tangentes, por ejemplo, o segundas derivadas. Este es un tema de cálculo variacional, pero se puede hablar de límite de una curva en diferentes sentidos.

Paracetamol

Por "ambos casos", ¿a qué dos casos se refería y cuáles tienen áreas evaluadas? @RossMillikan, la primera acera, en realidad estamos obteniendo la longitud correcta, es decir, 2, ¿cómo es el área reveladora? Simialruly con pequeños pasos uno?

ross milikan

@Paracetamol: ambos casos son el problema del cuadrado unitario y el círculo aquí.

Daniele Tampieri

+1 Esta es también la base del famoso contraejemplo de Schwartz-Peano sobre la definición del área de superficie del

TCL · Answer 2

Este problema ilustra el hecho de que dos funciones pueden estar muy cerca: $|f(x)-g(x)|<\epsilon$ para todos $x\in [0,1]$ , pero sus derivados aún pueden estar muy separados, $|f'(x)-g'(x)|>c$ por alguna constante $c>0$ . En nuestro caso, deja $x=a(t),y=b(t),0\le t\le 1$ y $x=c(t),y=d(t), 0\le t\le 1$ sean las parametrizaciones de las dos curvas. Al suavizar las esquinas, podemos suponer que ambas son suaves.

‖ (a (t), b (t)) ‖ \approx ‖ (C (t), d (t)) ‖

$\|(a(t),b(t))\|\approx \|(c(t),d(t))\|$ No implica

‖ (a^{'} (t), b^{'} (t)) ‖ \approx ‖ (C^{'} (t), d^{'} (t)) ‖

$\|(a'(t),b'(t))\|\approx \|(c'(t),d'(t))\|$ Por lo tanto

\int_{0}^{1} ‖ (a^{'} (t), b^{'} (t)) ‖ d t

$\int_0^1 \|(a'(t),b'(t))\| dt$ no necesita estar cerca de

\int_{0}^{1} ‖ (c^{'} (t), d^{'} (t)) ‖ d t .

$\int_0^1 \|(c'(t),d'(t))\| dt.$ Aquí

‖ (x, y) ‖

$\|(x,y)\|$ denota

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

$\sqrt{x^2+y^2}$ .

Como digo a continuación, me gusta esta respuesta (+1). Sin embargo, el "por lo tanto" al final me pone nervioso. La convergencia uniforme de una secuencia de funciones ciertamente es suficiente para implicar la convergencia de sus integrales, pero de ninguna manera es necesaria. De hecho, en comparación con los teoremas de convergencia al estilo de Lebesgue, el "teorema de convergencia uniforme" es casi trivial.
El problema es que, una vez que suavizas las esquinas, ya no puedes suponer que la expresión |f'(x) - g'(x)| permanece > 𝜖 para todo x.

pete l clark · Answer 3

La expresión concisa de esta "paradoja" es la siguiente: $x_n(t)$ ser una secuencia de curvas parametrizadas que converge uniformemente a una curva límite $x(t)$ . Entonces no es necesario que las longitudes de arco de $x_n(t)$ acercarse a la longitud de arco de $x(t)$ .

[ Agregado después de ver la respuesta de TCL : también es cierto que la convergencia uniforme de una secuencia de funciones no implica la convergencia de sus derivadas. Vea la Sección 3 aquí para una discusión sobre esto. Como señala TCL, dado que los elementos de longitud de arco se calculan utilizando derivadas, la observación sobre las derivadas puede ser, en cierto sentido, más fundamental. En otras palabras, creo que me gusta más la respuesta de TCL que la mía.]

Como señala Ross Millikan, esto se muestra más familiarmente al aproximar la hipotenusa de un triángulo rectángulo mediante un patrón de escalera de segmentos de línea horizontales y verticales. Todavía recuerdo cuando estaba en el último año de la escuela secundaria y un amigo (con quien no había tenido interacciones matemáticas previas) me mostró esto. Definitivamente recuerdo haber pensado que no era paradójico pero ciertamente sorprendente. (Y matemáticamente he respetado a esta persona desde entonces, aunque no la he visto desde que era adolescente).

Añadido mucho más tarde : si piensas en el fenómeno físicamente más que geométricamente, me parece que la sorpresa desaparece. Por ejemplo, suponga que estoy corriendo y usted está conduciendo una motocicleta. Es posible que tu velocidad en cada instante sea 25 veces (digamos) más rápida que la mía mientras mantienes una distancia muy pequeña de mí, por ejemplo, haciendo círculos muy pequeños y muy rápidos a mi alrededor.

Prefiero su respuesta, porque ha identificado la falsa creencia específica que lleva inmediatamente a la paradoja.
"Podrías conducir círculos muy pequeños y muy rápidos a mi alrededor": esto también puede suceder cuando paseas a un perro, ya sea porque el perro lleva una correa o porque te niegas a arrojar lo que sea que estés sosteniendo. No importa cuán corta sea la correa, el perro encontrará la manera de hacer mucho más ejercicio que tú.
AFAICT las notas vinculadas en la respuesta ahora son parte del texto de Pete L. Clark Honors Calculus ( Wayback Machine ).

NS · Answer 4

Probablemente me estoy desviando un poco del tema con estos comentarios, así que siéntase libre de votar negativamente :)

En mi opinión, este tipo de prueba enfatiza por qué es incorrecto enseñar/tomar "Cálculo" en lugar de Análisis.

Para la mayoría de las buenas aplicaciones de integración, siempre usamos el siguiente enfoque: tomar alguna cantidad/expresión, dividirla en muchas partes, identificar la suma de muchas partes como una suma de Riemann y, por lo tanto, nuestra cantidad es el límite de las sumas de Riemann. , por lo tanto la integral correspondiente...

Desafortunadamente, excepto en cursos serios de Análisis, ni siquiera una vez entramos en los detalles sutiles: por qué la suma de Riemann es una buena aproximación para nuestra cantidad, es decir, por qué el error en nuestra aproximación llega a cero...

La mayoría de los estudiantes que toman Cálculo terminan “entendiendo” muchos resultados falsos, que no tenemos tiempo para refutar en general: cualquier derivada es continua, cualquier aproximación que parezca buena es buena…

Volviendo a este problema, no todas las aproximaciones que parecen buenas son buenas. Siempre DEBEMOS probar que los errores en nuestras aproximaciones van a cero. Y para todas las fórmulas que "probamos" en cálculo, hay una demostración matemática real, que es bastante técnica (y la mayoría de los no matemáticos dirían aburrida y estúpida, pero sin tales demostraciones uno no puede entender realmente por qué la "demostración" de la imagen de arriba es incorrecta). Pero sin pasar por las pruebas formales, uno no puede realmente entender por qué esa aproximación en particular funciona en ese caso y, lo que es más importante, por qué una aproximación diferente no funcionará.

Volviendo a la imagen de arriba, una forma de entenderlo es la siguiente: aproximamos el círculo por una secuencia de polígonos. Dejar $c_n$ ser la longitud de la $n$ polígono y $c$ Sea la longitud del círculo. En cada paso el error en nuestra aproximación es $4-\pi$ , que no llega a cero. Esto significa que la longitud de arco del círculo podría no ser el límite de las longitudes de arco de los polígonos. Lo único que podemos concluir es que, si existen todas las cantidades y límites que aparecen en la imagen, entonces el límite se aproxima a la longitud del arco del círculo con un error de como máximo el límite de los errores. En otras palabras, $4 \approx \pi$ con un error menor o igual a $4-\pi$ . Hmm, ¿qué hay de malo en esto?

Hasta cierto punto, este rompecabezas ilustra el arco de las matemáticas desde Arquímedes hasta Newton. Arquímedes (que no habría cometido este error) sabía acerca de la aproximación por pequeños incrementos, pero no tenía los teoremas formales que se supone que nos mantendrán fuera de problemas. Ese fue el programa que terminaron Newton y Leibnetz (¿o Leibnez?).
Enlaces de Wikipedia que explican algunos conceptos mencionados aquí: cálculo y análisis (numérico) (clases). Suma de Riemann . limsup (límite superior) .
NS no está hablando de análisis numérico; se refiere a en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_analysis , que proporciona los fundamentos del cálculo.
Puede haber una tendencia entre los estudiantes de cálculo (y quizás también entre los profesores) a considerar solo la suma de Riemann inferior; es decir, mirar sólo los rectángulos inscritos bajo una curva. Sin embargo, si observa las sumas de Riemann superior e inferior y puede demostrar que convergen en el mismo valor, ¿qué hay de malo en eso?
@DavidK Nada. Pero en esta imagen NO es una suma de Riemann :)
Por supuesto que no lo es. Pero esta respuesta menciona sumas de Riemann. Usando ese tema como ejemplo, me pregunto si hay un nivel útil de rigor que a menudo puede faltar en algunos cursos de "cálculo" que se puede lograr sin convertir el curso de "cálculo" en un curso de análisis real en toda regla.
@DavidK Sí y no... Creo que el problema principal es que la mayoría de los estudiantes e incluso algunos instructores realmente no entienden todas las sutilezas y todo lo que podría salir mal. La mayoría de las veces, solo miran, como dijiste, los puntos de la mano izquierda frente a los puntos de la mano derecha, en lugar de mirar arriba/abajo (sumas de Darboux). Además, y esto es parte del problema, no conozco ninguna forma simple de probar que si la suma de Darboux superior menos la inferior converge a 0, entonces la función es integrable de Riemann. Por último, pero no menos importante, y este es otro problema sutil,
mostrar que las particiones regulares son suficientes no es nada trivial :) En pocas palabras, sí, podríamos mostrarles cómo calcular usando correctamente las sumas de Riemann en Cálculo, pero no pudimos explicarles por qué funciona... Desde mi experiencia , la mayoría de los estudiantes que toman Cálculo luchan para calcular $\int_0^3 x^2+1 dx$ usando los extremos izquierdos, imagina pedirles que hagan algo donde las sumas de Darboux son realmente necesarias.
El problema es que es un problema si asumimos que π < 4 en primer lugar o no. Si no lo hacemos, tampoco podemos decir que el error es una constante distinta de cero hacia la iteración infinita. Pero si asumimos que π < 4, entonces la prueba sigue siendo una contradicción en sí misma...
@NS Estoy de acuerdo con el espíritu de su respuesta, pero no creo que respalde la conclusión de que está mal enseñar "cálculo" en lugar de "análisis". Hay una respuesta de una línea perfectamente buena a esta pregunta que cualquier estudiante de cálculo debería poder dar, que publicaré ahora como una respuesta separada. El problema no es cálculo versus análisis, sino pensar (en este caso, definir la cantidad que está tratando de calcular) versus no pensar.
@sasquires Realmente no estoy de acuerdo con que cualquier estudiante de cálculo pueda resolver esto, a menos que sus estudiantes de cálculo sean realmente inteligentes.
@NS Quizás tenga razón y los estudiantes de cálculo de primer año no responderían esto correctamente. Pero mi punto es básicamente que es realmente fácil refutar la paradoja usando el lenguaje del cálculo de infinitesimales. Solo necesita saber cómo definir la longitud del arco de una curva diferenciable (es decir, $\int_C \sqrt{ dx^2 + dy^2}$ ), que es algo que enseñan en cálculo de primer año. Pero quiero reiterar que también aprecio tu punto, que es que aprender a escribir un límite de error riguroso es esencial para evitar errores estúpidos.

Dan Christensen · Answer 5

¡Gracioso! Por supuesto, la circunferencia no se aproxima por la suma de las longitudes de las líneas construidas como se muestra, sino por la suma de las hipotenusas de cada uno de los triángulos rectángulos formados alrededor del borde del círculo (formando un polígono con vértices en los lados). círculo).

phv3773 · Answer 6

phv3773

¿Qué hay de malo en esto?

Fundamentalmente, que ha saltado sin una definición de la longitud de un arco.

Jose_X

Implícitamente, esta es la definición de alguien sobre la definición de la longitud de un círculo, y podemos usar el conocimiento existente para contrarrestar (por ejemplo, aceptan implícitamente el significado de la longitud de las líneas rectas). Además, una definición en matemáticas no tiene por qué coincidir con ninguna realidad.

eric naslund · Answer 7

eric naslund

Este es simplemente otro ejemplo de por qué el "límite de la suma" no es la "suma del límite".

(La longitud de las curvas es un subconjunto de Sumas/Integrales que en realidad son lo mismo en mi opinión. Si lo desea, en este caso, "el límite de las longitudes de las curvas" no es la "longitud de la curva límite")

Muhammad Alkaruri

¿ Es el círculo una curva límite del cuadrado dentado?

ShreevatsaR

@MuhammadAlkarouri: Sí lo es. (Formalmente: parametrizar el

n

$n$ el cuadrado dentado tal que como

t

$t$ varía sobre

[0, 1]

$[0, 1]$ , tenemos

(x_{n} (t), y_{n} (t))

$(x_n(t), y_n(t))$ exactamente atravesando el cuadrado dentado. Esto es lo que significa una "curva". Entonces en el límite como

n \to \infty

$n\to\infty$ , si dejamos

x (t) = lim_{n \to \infty} x_{n} (t)

$x(t)=\lim_{n\to\infty}x_n(t)$ y

y (t) = lim_{n \to \infty} y_{n} (t)

$y(t)=\lim_{n\to\infty}y_n(t)$ obtenemos una curva

(x (t), y (t))

$(x(t),y(t))$ que atraviesa la circunferencia como

t

$t$ viene de

0

$0$ a

1

$1$ . En otras palabras: los puntos en el cuadrado dentado se acercan a los puntos en el círculo, pero las longitudes de las curvas permanecen

4

$4$ y no te acerques a la longitud

π

$\pi$ de la curva límite.)

AnandJ

Esta debería ser la respuesta aceptada. Da la razón matemática por la que esto no se puede hacer. Otras explicaciones largas o 'intuitivas' con imágenes no son suficientes. Simplemente se suman al ruido.

usuario7263 · Answer 8

usuario7263

Respuesta correcta: No hay nada de malo en esto, siempre que su espacio se defina utilizando una métrica de Manhattan. El espacio euclidiano normal se define utilizando una métrica euclidiana.

cnd

usando la métrica de Manhattan, l=2piR es incorrecto.

Yuan Qiaochu

Esta es una respuesta de escape: cambia la definición de

π

$\pi$ Si haces esto. Eso no está en el espíritu de la pregunta y no explica por qué el proceso de limitación descrito en la pregunta no converge a la respuesta esperada.

Zach466920

+1 Esto parece explicarlo bien. Dos métricas diferentes dan dos números diferentes. Todo lo demás supone que las longitudes de arco están definidas por hipotenusas infinitesimales, que era de lo que claramente se trataba la pregunta. Así que lo anterior es tautológico.

Zach466920

La base de esta pregunta es por qué las longitudes de arco se definen de la forma en que se definen. Lo anterior discute esto asumiendo que Euclidean es el espacio. Por supuesto que sabemos que

π

$\pi$ , euclidiana, en lugar de

4

$4$ , Manhattan, es más útil en retrospectiva, pero si viviéramos en Manhattan, ¡los perímetros de 4 podrían coincidir con la realidad! ;)

caleb stanford

No creo que sea una evasión. Creo que complementa muy bien las otras respuestas al sugerir que si un proceso de limitación "funciona" es relativo a la métrica que usa. Esto conduce tanto a una respuesta a la pregunta original (el proceso de limitación no funciona en el caso de una métrica euclidiana) como a una nota al margen interesante (no significa que dicho proceso de limitación no sea válido para todas las métricas).

Jose_X · Answer 9

Respuesta intuitiva (para aquellos que no entienden las respuestas más analíticas)

La respuesta es fácil. Solo tenemos que hacer zoom.

Podemos ver con un zoom bajo cómo la escalera (púrpura) abraza el círculo, pero un zoom más alto muestra que siempre sigue siendo una aproximación burda a los segmentos coincidentes del círculo que se reducen, excepto cerca de 0, π/2, π y 3π/2. [Por el contrario, el polígono inscrito (verde) es una aproximación cada vez mejor e igualmente buena en todos los ángulos.]
-- consulte "Explicación geométrica simple" a continuación para obtener una explicación más larga pero aún simple. Las actualizaciones en la parte inferior agregan más información una vez que la explicación geométrica simple no es lo suficientemente buena para usted. [Es necesario agregar más fotos para aclarar mejor algunos aspectos... en última instancia, potencialmente conducir a algo que se acerque a una prueba formal.]

El código javascript utilizado para hacer los marcos de fotos del gif sigue en la parte inferior. El código se puede utilizar como punto de partida para crear su propio gif/animación mejorado o simplemente un solo marco png. [puede intentar limpiar el código js más adelante y hacer que el tiempo de ejecución sea más eficiente]. Luego hice clic en cada foto, capturé cuidadosamente la misma región bordeada para cada foto y la guardé en un archivo. Los integré en un gif usando http://gifcreator.me/ (la mayoría de los fotogramas tienen un retraso de 250 ms, pero la primera y la última de cada una de las 6 secuencias tienen 750 ms). Tomé ese gif final y lo subí a stackexchange https://meta.stackexchange.com/questions/75491/how-to-upload-an-image-to-a-post

En caso de que la breve explicación anterior + foto no sea suficiente, aquí hay una nueva explicación más larga (aprovechando la foto):

Explicación geométrica simple:

[Para obtener una explicación simple, tenemos que tener un enfoque simple. Un círculo es una forma simple y fácil de hacer, y este problema se estudió hace mucho tiempo con un razonamiento simplificado.]

La pregunta que se plantea es ¿por qué no podemos aproximarnos a la longitud de un círculo [PI = la longitud de un círculo de diámetro 1] midiendo la longitud de un camino de "escalera" que abraza el círculo con fuerza?

La respuesta es simple:

Si nuestro objetivo es encontrar la longitud de algún objeto casi recto desde el punto A hasta el punto B, queremos medir lo más cerca posible de un camino recto desde A hasta B (ver cuasi superposición verde/roja). No obtendremos la respuesta correcta si, en cambio, como en el enfoque de la escalera anterior (púrpura), medimos desde A hasta un punto lejano al costado y luego desde ese punto hasta B . Esto es muy intuitivo.

Ahora, para aproximar la longitud de un círculo, reemplazamos todo el círculo con muchos pequeños caminos rectos que siguen de cerca la forma del círculo (verde). Usamos una sola pieza de conexión directa (verde) entre cada dos puntos adyacentes A y B (A y B, que no se muestran, serían donde las líneas grises adyacentes se cruzan con el círculo rojo) en lugar de usar el paso impreciso de 2 piezas (púrpura). Observe un punto clave que hace que esto funcione: cualquier pequeño arco de círculo, como con cualquier pequeña sección de cualquier curva simple, se vuelve casi indistinguible de un segmento de línea de tamaño similar cuando estos son lo suficientemente cortos.

[Resumen:] Entonces, en cualquier ángulo alrededor del círculo, para N grande, un pequeño segmento de línea verde ≈ pequeño arco rojo. Mientras tanto, alrededor de la mayor parte del círculo, 2 segmentos de línea púrpura en ángulo recto son claramente> arco rojo coincidente, sin importar N. Esta es la razón por la cual la aproximación verde se acerca mucho a π mientras que la aproximación púrpura está muy lejos de 4. [Nota: verde π = N sin (pi/N) y es fácilmente derivable de la geometría básica sumando 2*N piezas que son triángulos radiales opuestos con hipotusa .5 y ángulos centrales 2π/(2N).]

[Finalmente, me disculpo si no puede distinguir el verde del rojo. Puedo cambiar de color más tarde, pero encontré estos convenientes y generalmente fáciles de diferenciar.]

    <html>
    <body>
    <table style="border:3px solid black;"><tbody>
    <tr><td colspan="2"><center><b><font size="4"><span style="color:red;">&#960; = 3.141592...</span></font></b></center></td></tr>
    <tr><td><center><b><span id="sp1" style="color:purple;">N = 4</span></b></center></td><td style="margin-left:50px;"><center><b><span id="sp2" style="color:purple;">&#960; = 4</span></b></center></td></tr>
    <tr><td><center><b><span id="sp3" style="color:green;">N = 4</span></b></center></td><td style="margin-left:50px;"><center><b><span id="sp4" style="color:green;">&#960; = 3.1111...</span></b></center></td></tr>
    <tr><td>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp1" style="background-color:white; position:absolute; top:6px; border:2px solid red; padding:3px; z-index:1;">1x</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp1b" style="background-color:; position:absolute; top:36px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">hugs</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp1c" style="background-color:; position:absolute; top:56px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">circle</span></center>
    <svg id="svg1" height="200px" width="200px" style="margin-left:0px; border:2px solid black;">
    <!--<svg viewBox="0 0 200 200">-->
    <circle cx="51" cy="51"  r="50" stroke-width="1" stroke="green" fill="transparent"/>
    </svg>
    </td><td>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp2" style="background-color:white; position:absolute; top:6px; border:2px solid red; padding:3px; z-index:1;">5x</span></center>
    <svg id="svg2" height="200px" width="200px" style="margin-left:0px; border:2px solid black;">
    <!--<svg viewBox="0 0 200 200">-->
    <circle cx="51" cy="51"  r="50" stroke-width="1" stroke="green" fill="transparent"/>
    </svg>
    </td></tr>
    <tr style="margin:20px; border:20px solid blue;"><td>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp3" style="background-color:white; position:absolute; top:6px; border:2px solid red; padding:3px; z-index:1;">20x</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp3b" style="background-color:white; position:absolute; top:36px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">bad</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp3c" style="background-color:white; position:absolute; top:56px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">approx</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp3dd" style="background-color:white; position:absolute; top:36px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">ok</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp3d" style="background-color:white; position:absolute; top:36px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">good</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp3e" style="background-color:white; position:absolute; top:56px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">approx</span></center>
    <svg id="svg3" height="200px" width="200px" style="margin-left:0px; border:2px solid black;">
    <!--<svg viewBox="0 0 200 200">-->
    <circle cx="51" cy="51"  r="50" stroke-width="1" stroke="green" fill="transparent"/>
    </svg>
    </td><td>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp4" style="background-color:white; position:absolute; top:6px; border:2px solid red; padding:3px; z-index:1;">100x</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp4e" style="background-color:white; position:absolute; top:36px; left:25; border:0px; padding:0px; z-index:1;">a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup></span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp4f" style="background-color:white; position:absolute; top:56px; left:25; border:0px; padding:0px; z-index:1;">&#8775; c<sup>2</sup></span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp4b" style="background-color:white; position:absolute; top:36px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">circle</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp4c" style="background-color:white; position:absolute; top:56px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">looks</span></center>
    <center style="position:relative;"><span id="ssp4d" style="background-color:white; position:absolute; top:76px; left:145; border:0px; padding:0px; z-index:1;">straight</span></center>
    <svg id="svg4" height="200px" width="200px" style="margin-left:0px; border:2px solid black;">
    <!--<svg viewBox="0 0 200 200">-->
    <circle cx="51" cy="51"  r="50" stroke-width="1" stroke="green" fill="transparent"/>
    </svg>
    </td></tr>
    </tbody></table>
    <br>
    <br>
    <input type="button" onclick="doprev();">Prev</input>
    <input type="button" onclick="donext();" style="margin-left:30;">Next</input>


    <script>
    alert('js syntax ok');
    function xxx(iter,first,second,third,fourth) {
        xxxcore(iter,"svg1",first,second,third,fourth,1,document.getElementById('ssp1') );
        xxxcore(iter,"svg2",first,second,third,fourth,5,document.getElementById('ssp2') );
        xxxcore(iter,"svg3",first,second,third,fourth,20,document.getElementById('ssp3') );
        xxxcore(iter,"svg4",first,second,third,fourth,80,document.getElementById('ssp4') );
    }

    function xxxcore(iter,svgid,first,second,third,fourth,mult,ssp) {

    var i,j,ktf;
    //var iter=3;
    var alpha1=Math.PI*2/40;
    var alpha2=Math.PI*2*3/16+0.000;
    var steps=Math.pow(2,(iter+2));  //(iter+1)*4;
    var delta=Math.PI*2/steps;
    //var first=true;
    //var second=true;
    //var third=true;
    var cx0=100;
    var cy0=100;
    var r0=50;
    var cx=cx0+(mult-1)*r0*Math.cos(alpha2)-30 ; //351;
    var cy=cy0-(mult-1)*r0*Math.sin(alpha2)-10 ;  //-401;
    var r=r0*mult;
    var geostr1="";
    if (first!=0)
        geostr1+="<circle cx='"+cx+"' cy='"+cy+"'  r='"+r+"' stroke-width='1' stroke='red' fill='transparent'/>";
    for (i=0,j=(Math.PI*2/steps); i<steps; i++) {
        ktf=i<steps/4||i>=2*steps/4&&i<3*steps/4;
      if (second!=0) {
    //second=1;
        if (second!=0&&i*j==alpha2) {  //floating variation? 
            geostr1+="<path d='M "+cx+" "+cy+" L "+(cx-r*Math.cos(i*j))+" "+(cy+r*Math.sin(i*j))+"' stroke-width='2' stroke='blue' fill='transparent'/>"
        } else if (0&&     (i-1)*j==alpha2) {
            geostr1+="<path d='M "+cx+" "+cy+" L "+(cx-r*Math.cos(i*j))+" "+(cy+r*Math.sin(i*j))+"' stroke-width='1' stroke='blue' fill='transparent'/>"
        } else if (1||0) {
            geostr1+="<path d='M "+cx+" "+cy+" L "+(cx-r*Math.cos(i*j))+" "+(cy+r*Math.sin(i*j))+"' stroke-width='1' stroke='gray' fill='transparent'/>"
        }
      }
      if (third!=0) {
        geostr1+="<path d='M "+(cx-r*Math.cos(i*j))+" "+(cy+r*Math.sin(i*j))+" L "+(cx-r*Math.cos((i+1)*j))+" "+(cy+r*Math.sin((i+1)*j))+"' stroke-width='1' stroke='green' fill='transparent'/>";
      }
      if (fourth!=0) {
        geostr1+="<path d='M "+(cx-r*Math.cos(i*j))+" "+(cy+r*Math.sin(i*j))+" L "+(ktf?cx-r*Math.cos(i*j):cx-r*Math.cos((i+1)*j))+" "+(ktf?cy+r*Math.sin((i+1)*j):cy+r*Math.sin(i*j))+" L "+(cx-r*Math.cos((i+1)*j))+" "+(cy+r*Math.sin((i+1)*j))+"' stroke-width='1' stroke='purple' fill='transparent'/>";
      }
    }   //also stroke-opacity  fill-opacity
    document.getElementById("sp1").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("sp2").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("sp3").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("sp4").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp1b").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp1c").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp3b").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp3c").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp3dd").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp3d").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp3e").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp4b").style.visibility="visible";
    document.getElementById("ssp4c").style.visibility="visible";
    document.getElementById("ssp4d").style.visibility="visible";
    document.getElementById("ssp4e").style.visibility="hidden";
    document.getElementById("ssp4f").style.visibility="hidden";
    var pistr=new Number(steps*Math.sin(Math.PI/steps)).toPrecision(7);
    if (third!=0) {
        document.getElementById("sp3").style.visibility="visible";
        document.getElementById("sp4").style.visibility="visible";
        document.getElementById("sp3").innerHTML="N = "+steps;
        document.getElementById("sp4").innerHTML="&#960; = "+pistr+"...";
       if (fourth==0) {
        if (steps==8) {
            document.getElementById("ssp3dd").style.visibility="visible";
            document.getElementById("ssp3e").style.visibility="visible";
        }
        if (steps>=16) {
            document.getElementById("ssp3d").style.visibility="visible";
            document.getElementById("ssp3e").style.visibility="visible";
        }
       }
    }
    if (fourth!=0) {
        document.getElementById("sp1").style.visibility="visible";
        document.getElementById("sp2").style.visibility="visible";
        document.getElementById("sp1").innerHTML="N = "+steps;
        document.getElementById("sp2").innerHTML="&#960; = 4";  //&pi;
       if (third==0) {
        if (steps>=32) {
            document.getElementById("ssp1b").style.visibility="visible";
            document.getElementById("ssp1c").style.visibility="visible";
        }
    //    if (steps>=256) {  //don't bother adding a,b,c labels and just keep invisible.. else fix "circle looks straight" to "circle (hypot) looks straight" but 
                             // keep in mind that c is not c but approx straight. etc. so avoid imprecision and just use visual pic.
    //        document.getElementById("ssp4e").style.visibility="visible";
    //        document.getElementById("ssp4f").style.visibility="visible";
    //    }
        document.getElementById("ssp3b").style.visibility="visible";
        document.getElementById("ssp3c").style.visibility="visible";
       }
    }
    document.getElementById(svgid).innerHTML=geostr1;
    ssp.innerHTML=mult+"x"

    } //end func


    var ii=0;
    var jj=0;

    sz=5; //of each line below
    var xxxarr=[
    0, 1,0,0,0,  //hold a bit
    0, 1,1,0,1,
    1, 1,1,0,1,
    2, 1,1,0,1,
    3, 1,1,0,1,
    4, 1,1,0,1,
    5, 1,1,0,1,
    6, 1,1,0,1,
    7, 1,1,0,1,
    //0, 1,0,0,1,
    //1, 1,0,0,1,
    //2, 1,0,0,1,
    //3, 1,0,0,1,
    //4, 1,0,0,1,
    //5, 1,0,0,1,
    //6, 1,0,0,1,
    //7, 1,0,0,1,
    0, 1,1,1,0,
    1, 1,1,1,0,
    2, 1,1,1,0,
    3, 1,1,1,0,
    4, 1,1,1,0,
    5, 1,1,1,0,
    6, 1,1,1,0,
    7, 1,1,1,0,
    0, 1,1,1,1,
    1, 1,1,1,1,
    2, 1,1,1,1,
    3, 1,1,1,1,
    4, 1,1,1,1,
    5, 1,1,1,1,
    6, 1,1,1,1,
    7, 1,1,1,1,
    0, 1,0,0,1,
    1, 1,0,0,1,
    2, 1,0,0,1,
    3, 1,0,0,1,
    4, 1,0,0,1,
    5, 1,0,0,1,
    6, 1,0,0,1,
    7, 1,0,0,1,
    //0, 1,0,0,1,
    //1, 1,0,0,1,
    //2, 1,0,0,1,
    //3, 1,0,0,1,
    //4, 1,0,0,1,
    //5, 1,0,0,1,
    //6, 1,0,0,1,
    //7, 1,0,0,1,
    0, 1,0,1,0,
    1, 1,0,1,0,
    2, 1,0,1,0,
    3, 1,0,1,0,
    4, 1,0,1,0,
    5, 1,0,1,0,
    6, 1,0,1,0,
    7, 1,0,1,0,
    0, 1,0,1,1,
    1, 1,0,1,1,
    2, 1,0,1,1,
    3, 1,0,1,1,
    4, 1,0,1,1,
    5, 1,0,1,1,
    6, 1,0,1,1,
    7, 1,0,1,1,
    ]
    var xxxstr="";
    //for (i=0; i<1; i++) {
        //keep in sync with below
        xxxstr+="xxx(";
        for (j=0; j<sz-1; j++) {
    //        xxx(xxxarr[1*ii+jj]);
            xxxstr+=xxxarr[j]+",";
        }
        xxxstr+=xxxarr[sz-1]+");";
        eval (xxxstr);
    //}
    //alert(xxxstr);


    function donext () {
        xxxstr="";
        if (++ii==xxxarr.length/sz)
            ii=0;
        //common with below
        xxxstr+="xxx(";
        for (j=0; j<sz-1; j++) {
            xxxstr+=xxxarr[ii*sz+j]+",";
        }
        xxxstr+=xxxarr[ii*sz+sz-1]+");";
        eval (xxxstr);
    }

    function doprev() {
        xxxstr="";
        if (--ii<0)
            ii=xxxarr.length/sz-1;
        //same as above;
        xxxstr+="xxx(";
        for (j=0; j<sz-1; j++) {
            xxxstr+=xxxarr[ii*sz+j]+",";
        }
        xxxstr+=xxxarr[ii*sz+sz-1]+");";
        eval (xxxstr); //alert(xxxstr)
    }

    alert('initialization done');

    </script>
    </body>
    </html>

Actualización 1:

Después de ver la imagen (p. ej., zoom superpuesto verde/rojo 80x para N grande), todavía nos podemos preguntar (y no aceptar del todo) por qué los dos lados del triángulo rectángulo no son iguales a la hipotenusa, ¿por qué no a+b= ¿C?

Bueno, con geometría euclidiana básica, podemos probar el Teorema de Pitágoras; por lo tanto, estamos preguntando, dado a ² +b ² =c ² , ¿por qué no a+b=c? Bueno, un contraejemplo simple de 3,4,5 muestra que Pitágoras se mantiene donde la otra ecuación más simple no (3+4≠5), por lo que a+b=c generalmente no es cierto. Siendo ese el caso, no podemos concluir PI=4.

Actualización 2:

El problema principal con los triángulos rectángulos es este, sin importar cuán pequeños sean y cuántos, aquellos dentro de una región dada (en la vecindad de un ángulo dado) , incluso cuando vas a infinitos de ellos, sumando las longitudes de los ( morado) los catetos de cada uno serán una fracción significativa más que tomando el camino recto (verde) de la hipotenusa. Esta fracción va a un número dado (digamos 30%-50% extra cerca de la región de +-45 grados... como límite inferior) que claramente no es cero . Esto es para cada triángulo en esa región, sin importar cuántos hagas, por lo que se factoriza a partir de todos ellos ( propiedad distributiva ). 4 es un límite superior de acuerdo.Cualquier forma que use (una sierra/escalera), dentro o fuera del círculo, convergerá a un número más alto siempre que no sea una distancia de trayectoria recta a medida que se acerca más y más al círculo . La distancia se define como la ruta más pequeña desde el punto A al B. Cualquier otra forma de ruta que no se acerque a ella en valor (por debajo de épsilon para todo n>N0) sino que permanezca por encima de alguna diferencia de límite inferior con respecto a esa ruta en línea recta (dentro de algunos " región de ángulo amplio" del círculo) no puede acercarse arbitrariamente a especificar π. ... esta respuesta podría usar otra imagen que muestre cálculos de longitud y cuán claramente todos los "triángulos rectángulos" dentro de una región "ancha" de círculo (excepto estrechamente en N, E, S, W) agregarán longitud adicional. Una región dada del círculo, y una definición de ruta dada, pueden tener un límite inferior mayor que cero arrancado (distribuido) de esa región. Ser un valor claro mayor que cero mayor que pi en una región "ancha" del círculo es una forma segura de no acercarse a π.

El análisis va más allá de lo que jamás pudo la geo euclidiana... pero sigues llegando a lo mismo básico

Para obtener π, usa una línea recta que conecta los muchos puntos en el círculo. Los pequeños arcos circulares se enderezarán y se acercarán a esa ruta ("diferencia" limitada por debajo solo por 0) cualquier otra ruta poligonal que claramente no se acerque a la línea recta ("diferencia" limitada por debajo por un número mayor que cero) no se acercará al círculo. El problema es que no hay una definición real de la longitud de una curva en la que estamos pasando. La geom euclidiana define la longitud de forma más flexible. Da valores definidos para algunas formas, incluidas líneas, círculos, etc. Estos coinciden con la noción de longitud del mundo físico. El análisis (y hay diferentes variaciones, algunas de las cuales van más allá) va más allá que Euclidean Geo y define de manera más general una definición de distancia para curvas arbitrarias. Para probar el uso de esas herramientas, primero debe saber con precisión cómo se define la longitud allí y luego construir el argumento formal sobre ella. Con la vista euclidiana (intuitiva) y sin bucear más formalmente que eso, está limitado a una cierta cantidad de movimiento de manos. Realmente debe definir la longitud de una curva con precisión si desea un argumento preciso.

Dije que el código es borrador (pero funciona). Esa es una alerta que mantengo para detectar otros errores que pueda cometer mientras codifico el javascript. Algunos tipos de errores harán que esa alerta no aparezca (tengo otra al comienzo de js, que detecta los problemas de sintaxis de inmediato).
alert('inicialización realizada'); ? Vamos, ¿realmente publicaste 3 respuestas en la misma pregunta?
Cada uno es diferente. Traté de brindar información que no se ve fácilmente en otras respuestas, especialmente si no tiene experiencia en análisis. Este último también agrega imagen/animación y código a las imágenes. Esto ayuda a aclarar que los arcos circulares se vuelven indistinguibles de las líneas rectas, lo que hace mucho más fácil ver que el arco es aproximadamente una hipotenusa, por lo que no puede ser aproximadamente por la suma de las longitudes de los otros 2 catetos. Esta es la razón por la que el perímetro poli inscrito se acerca al límite (Nsin(pi/N)) mientras que la escalera siempre está a una fracción significativa prácticamente en todas partes, sin importar cuán pequeñas sean las piezas.
Te malentendí. No, tengo una respuesta aquí. Separé la Explicación geométrica simple para mantener una respuesta muy corta en la parte superior, ya que eso podría ser suficiente para el lector. [Sí, me enganché un poco con esta pregunta... por eso esta es en realidad mi tercera respuesta distinta].

steve byrnes · Answer 10

El concepto fundamental aquí es la discontinuidad . La longitud de arco de una curva es una función discontinua de su trayectoria, en el sentido de que dos trayectorias pueden estar arbitrariamente cerca (en el sentido visual o punto por punto) pero tener longitudes de arco dramáticamente diferentes.

Puede tomar cualquier función discontinua y construir una aparente paradoja tonta en el mismo estilo .

El signo de un número es discontinuo. Aquí hay una aparente paradoja tonta:

1 es positivo. 0.1 es positivo 0.01 es positivo. ¡Repite hasta el infinito y concluyes que 0 es positivo! ¡DIOS MÍO!

El mapeo "es racional" es discontinuo. Aquí hay una aparente paradoja tonta:

3.14 es racional. 3.141 es racional. 3.1415 es racional. ¡Repite hasta el infinito y concluyes que pi es racional! ¡DIOS MÍO!

El mapeo "es igual" es discontinuo. Aquí hay una aparente paradoja tonta:

Cuando estoy al 50% del camino a mi destino, todavía no he llegado. Cuando estoy al 75% del camino, todavía no he llegado. Cuando estoy al 87,5% del camino, todavía no he llegado. ¡Repite hasta el infinito y concluyes que nunca llegaré! ¡DIOS MÍO!

(¿No es esa la paradoja de Zeno o algo así?)

Con esta plantilla, puedes construir tantas aparentes paradojas tontas como quieras. ¡Se creativo! ¡Impresiona a tus amigos! :-)

No estoy seguro de por qué esto fue rechazado. Esta respuesta es mejor que algunas de las respuestas con más de 50 puntos.
No, no puedes concluir que 0 es positivo de la primera oración que pones en cursiva. En realidad nunca llegas a 0 en esa secuencia. Lo mismo para tu segunda oración. Nunca llegas a pi, solo tienes aproximaciones racionales más bajas en cada paso. Ninguna de las conclusiones sigue y, por lo tanto, esas no son paradojas. Sin embargo, la última oración en cursiva implica que nunca llegarás allí. Eso es una paradoja.
@DougSpoonwood Puede, si asume el mismo razonamiento que asume el OP, que es básicamente eso $\lim f(x_n) = f(\lim x_n)$ (es decir, continuidad).
Para ser un poco más específico: la longitud de la ruta como una función de, digamos, $C^0$ caminos equipados con $C^0$ -norma a $[0,\infty]$ con la topología habitual es discontinua. pero si cambias $C^0$ por ejemplo a $C^1$ y equiparlo con el $C^1$ -norma, entonces la longitud del camino se convierte en una función continua 😄.

emmanuele paolini · Answer 11

La imagen muestra una secuencia de curvas. $\gamma_n$ que se acercan (en lo que se llama "distancia uniforme") a la circunferencia de un círculo $\gamma$ . Luego, la imagen dice que la longitud de estas curvas es siempre la misma: $\ell (\gamma_n) = 4$ . Si la función $\ell$ fuera una función continua obtendrías el resultado indicado:

4 = \underset{norte \to \infty}{límite} ℓ (γ_{norte}) = ℓ (γ) = π .

$4 = \lim_{n\to \infty} \ell(\gamma_n) = \ell(\gamma) = \pi.$

Desafortunadamente $\ell$ no es una función continua, y este ejemplo es una prueba de este hecho.

(agregado) Como lo sugiere @knedlsepp en los comentarios: el funcional $\ell$ es continua con respecto a $C^1$ convergencia (es decir, siempre que ambos $\gamma_k$ y $\gamma'_k$ converger a $\gamma$ y $\gamma'$ ). En este caso es fácil ver que las curvas $\gamma_k$ no converger en $C^1$ porque las derivadas $\gamma'_k$ son siempre vectores horizontales o verticales, mientras que la curva límite $\gamma$ puede tener cualquier pendiente intermedia.

..., pero $\ell|_{\mathcal{C}^1}$ es. Así que si las curvas $\gamma_n$ iban a acercarse a través de $\gamma_n \xrightarrow{\mathcal{C}^1} \gamma$ , entonces $\lim_{n \to \infty} \ell(\gamma_n) = \ell(\gamma)$ seria verdad

Mario Stefanutti · Answer 12

(no riguroso) Si repite el proceso un millón de veces, "parecerá" (visualmente) que el perímetro se acerca en longitud a la circunferencia, pero si amplía la imagen de un solo "diente" a pantalla completa, notará un gran diferencia de los segmentos ortogonales y el arco de la circunferencia. No importa cuántas veces repitas el proceso, esa diferencia nunca se desvanecerá.

AGREGADO: Un ejemplo visual de lo que quise decir es el plegado de una cuerda. Si imaginas que la cuerda no tiene grosor, puedes doblarla tantas veces que puedas tender a un punto (¿longitud cero?). Si lo despliegas, volverá a su forma original. En el ejemplo, el perímetro siempre tendrá una longitud total = 4, pero solo parece mezclarse con la circunferencia.

Andrew D Hwang · Answer 13

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$ Hay varias buenas respuestas a esta pregunta primordial, pero ninguna menciona la definición habitual de longitud de arco: si $\gamma:[a, b] \to \Reals^{n}$ es un camino continuo, la longitud del arco de $\gamma$ es el supremo, tomado sobre todas las particiones $(t_{i})_{i=0}^{n}$ de $[a, b]$ , de

\begin{matrix} (1) & \sum_{i = 1}^{norte} ‖ γ (t_{i}) - γ (t_{i - 1}) ‖ . \end{matrix}

$\sum_{i=1}^{n} \|\gamma(t_{i}) - \gamma(t_{i-1})\|. \tag{1}$ Este supremo siempre existe como un número real extendido positivo. Si

γ

$\gamma$ es diferenciable continuamente por tramos, la longitud del arco es finita y está dada por

\int_{a}^{b} ‖ γ^{'} (t) ‖ d t .

$\int_{a}^{b} \|\gamma'(t)\|\, dt.$ (La integral se calcula dividiendo

[a, b]

$[a, b]$ en un número finito de intervalos en los que

γ^{'}

$\gamma'$ es continua y sumando las contribuciones.)

Aquí, el círculo puede ser (suavemente) parametrizado por

γ (t) = (\frac{1}{2} porque t, \frac{1}{2} pecado t), 0 \leq t \leq 2 π .

$\gamma(t) = (\tfrac{1}{2}\cos t, \tfrac{1}{2}\sin t),\qquad 0 \leq t \leq 2\pi.$

El punto es que la aproximación del troll por los polígonos de "Manhattan" no da el supremo de (1), ni hay ninguna razón para esperar que así sea, ya que ninguno de los vértices se encuentra en el círculo .

Sobre el tema, hay un tema verdaderamente desconcertante para las superficies en $\Reals^{3}$ : El análogo de (1) (formar una aproximación triangular cuyos vértices se encuentran en la superficie, sumar las áreas de los triángulos y tomar el supremo) es infinito incluso para una porción acotada de un cilindro circular recto, una superficie tan suave como uno podría esperar. La Introducción completa a la geometría diferencial de Spivak tiene un buen diagrama que ilustra lo que sale mal. Intuitivamente, aplasta un cilindro de papel para que parezca un fuelle de acordeón, e imagina que esto se hace de tal manera que los vértices del cilindro aplastado se encuentran sobre otro cilindro cuya área deseamos aproximar. El área de los fuelles se puede hacer tan grande como queramos.

Excelente explicación, gracias (aunque creo que la mitad de los vértices de la escalera están sobre el círculo. Pero no importa. El caso es que no todos están sobre el círculo). Un artículo premiado sobre la paradoja del área superficial está aquí: maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/… .

Jose_X · Answer 14

Resumen: La construcción en la parte superior (pi=4) simplemente muestra un límite superior. Es un límite superior, pero es muy fácil encontrar un límite inferior pero aún superior para la circunferencia. La construcción =?4 no prueba ni refuta mucho más acerca de la longitud del círculo además de proporcionar un límite superior pi<4. Ciertamente no prueba =4. Finalmente, siempre debemos confiar en la "experimentación" física para respaldar el significado de cualquier construcción.

Si usamos un hexágono circunscrito alrededor del círculo, podemos encontrar con bastante facilidad un límite superior diferente que sería inferior a 4; por lo tanto, demostrando que la construcción anterior es simplemente un límite superior (del cual hay un número infinito ... incluido pi =? 10000, mediante el uso de un camino que serpentea en un área pequeña entre un cuadrado y un círculo) pero ciertamente no el superior más bajo atado.

Para acercarnos más a descubrir pi, también podemos usar un enfoque complementario reflejado de límites inferiores crecientes a través de polígonos inscritos de un número creciente de lados. Sin embargo, podría decirse que también podríamos "tejer" con la inscripción para crear un límite "inferior" que se acerque, digamos, a 4 desde abajo. [Es decir, al tejer, podemos inscribir un camino tejido que termina teniendo una medida arbitrariamente grande a pesar de encajar muy bien dentro del espacio de ajuste entre el círculo y los polígonos.]

En última instancia, una clave para tener cordura es postular/creer que la distancia más corta entre 2 puntos es una línea (Euclid hizo esto hace mucho tiempo). Observamos, por ejemplo, que la altura aceptada de una persona implica un procedimiento de uso de una vara de medir enseñada o, en general, la medición de curvas apretando un dispositivo de medición flexible tanto como pueda apretarse mientras se sigue abrazando (permaneciendo dentro de un área determinada). de) el elemento con curvas que se está midiendo. Este procedimiento es muy fácil de realizar para un círculo hecho de un anillo de hierro, por ejemplo, y daría una aproximación muy cercana a pi. Este ejercicio también muestra que las matemáticas no son la realidad. Las matemáticas se basan en postulados y definiciones (algo debe aceptarse como verdadero), pero estos postulados no necesitan coincidir con nuestro mundo físico para permanecer lógicamente consistentes. Para decir cosas significativas sobre el mundo físico, debemos juzgar la razonabilidad de los postulados y las definiciones matemáticas [phv3773 señaló en una respuesta cómo faltaban definiciones, mientras que otros también señalaron colectivamente muchos de estos puntos]; debemos determinar cuál es un conjunto razonable de postulados con los que empezar para llegar a un significado razonable de la longitud de un círculo (es decir, del valor de pi). Podríamos concluir, por ejemplo, que el enfoque habitual inscrito/circunscrito se basa en un marco más cercano a la realidad porque, de hecho, se acerca arbitrariamente a los resultados "experimentales" de la cinta métrica. debemos determinar cuál es un conjunto razonable de postulados con los que empezar para llegar a un significado razonable de la longitud de un círculo (es decir, del valor de pi). Podríamos concluir, por ejemplo, que el enfoque habitual inscrito/circunscrito se basa en un marco más cercano a la realidad porque, de hecho, se acerca arbitrariamente a los resultados "experimentales" de la cinta métrica. debemos determinar cuál es un conjunto razonable de postulados con los que empezar para llegar a un significado razonable de la longitud de un círculo (es decir, del valor de pi). Podríamos concluir, por ejemplo, que el enfoque habitual inscrito/circunscrito se basa en un marco más cercano a la realidad porque, de hecho, se acerca arbitrariamente a los resultados "experimentales" de la cinta métrica.

Busqué en Google un excelente ensayo que detalla el ensayo de Arquímedes http://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-2012-02 . Parece haber sido escrito para la American Mathematical Society, pero tal vez se pueda persuadir a su autor (Bill Casselman) para que haga una contribución aquí.

[Abajo está mi respuesta anterior]

¿Qué pasa si la medida que usamos, modelándola después de una cuerda envuelta alrededor de este círculo, se teje de un lado a otro? Esencialmente, podemos encontrar una serie de segmentos de línea conectados con longitudes que suman $1000000000$ y, sin embargo, "abrazar" el círculo muy de cerca. Una analogía de cadena sigue de cerca, aunque los segmentos de línea tienen ancho $0$ por lo que podemos encajar arbitrariamente muchos.

Esta es la razón por la que no vale cualquier razonamiento sobre el infinito. Los matemáticos han desarrollado argumentos bien razonados y axiomas que se correlacionan bien en muchos casos con la realidad (ver también este argumento ).

Así que la pregunta de por qué no $\pi = 4$ se responde mejor preguntando, "¿Por qué debería?" También podríamos haber usado la ridícula construcción anterior para sugerir $\pi =$ cualquier número $> 3.15$ .

El enfoque que tomamos para argumentar de manera convincente que la suma de los segmentos de línea se aproxima a la "longitud de la curva" es encontrar secuencias (de series de sumas parciales) que coincidan con funciones (observe que el ejemplo de pregunta y el ejemplo de tejido no constituyen una función debido a sus múltiples valores en un dado " $x$ ") que tienen ciertas características. Por ejemplo, podríamos usar un par de secuencias de límite inferior y superior que correspondan a los valores de función de los puntos finales del segmento de línea para tales polígonos creados donde uno permanece en un lado de la curva y el otro en el otro lado en todos los tiempos y donde estas dos secuencias se acercan al mismo valor límite. Podríamos usar el teorema del valor medio o resultados relacionados para ayudar a probar nuestra respuesta final. En cualquier caso, los matemáticos aprovechan un conjunto convincente de argumentos y suposiciones y no solo ad hoc arroje un manojo de cuerda retorcida a un problema y afirme que la cantidad de cuerda utilizada prueba lo indemostrable.

@Jose_X: Odio empañar tu entusiasmo, pero no era realmente necesario publicar una nueva respuesta a este hilo. Ya hay muchas buenas respuestas y este hilo ya es bastante antiguo.
@Qiaochu Yuan, leí la respuesta principal y habla de que la longitud es una respuesta incorrecta a través de una construcción en particular, pero simplemente dice que es incorrecta. No da ninguna explicación de por qué pi debería ser algo además de 4. También habla sobre el área que no tiene nada que ver con el problema. No podemos asumir A=pi r r, donde pi es lo mismo que Circunferencia/pi. Ahora, podemos resolver estos problemas, pero simplemente no son "obvios" y no se abordan en esta pregunta. La segunda respuesta más alta menciona un punto importante, sobre derivados, pero está aislado. Una derivada tampoco es longitud.
@Jose_X: la respuesta aceptada es concisa, pero responde la pregunta. La observación básica aquí es que la longitud no es una función continua de la topología "obvia" de las curvas rectificables en el plano. La segunda respuesta más alta da una breve explicación de por qué esto tiene sentido para el caso especial de $C^1$ curvas.
@Qiaochu Yuan, no veo cómo la primera respuesta aborda el problema de la longitud de la curva. El área no tiene nada que ver con la longitud de la curva. Especialmente como una persona que podría ver esta pregunta en Google, no creo que esa respuesta sea buena. No me corresponde a mí aceptar o rechazar, pero sí veo cómo el bit que agregué a la conversación es -1 mientras que ese es 40. Este también es un sitio para el público más amplio interesado en las matemáticas, ¿verdad? La pregunta en sí no sugiere nada que necesite una licenciatura en matemáticas para poder apreciar las respuestas aportadas. ¿Algún thm en particular que invocara la primera respuesta?
@Jose_X: la respuesta más votada está tratando de abordar una intuición razonable (que es falsa) de que si tiene una curva y una secuencia de curvas tal que el área entre ellas llega a cero, entonces sus longitudes se acercan entre sí. El punto aquí es que el área (que se comporta de manera continua cuando se deforma una región en el plano) se comporta de manera diferente a la longitud (que puede comportarse de manera errática después de una pequeña deformación) y este es un punto importante porque uno podría pensar ingenuamente que se comportan de manera similar. .
Muy bien, acepto que se basó en la relación entre la longitud de la curva y el área (si eso es lo que estaba haciendo), pero este sitio web es para un público más amplio que los estudiantes de matemáticas (o graduados).
Si vamos a hablar de intuición, al juntar una cuerda de medir, cualquiera te dirá que no obtendrás la respuesta correcta. El área, como concepto intuitivo para explicar un problema de medición de longitud, no juega ningún papel aquí (por ejemplo, podemos tener una cuerda muy larga que "tome 1 mm ^ 2" muy fácilmente).
@Jose_X: No creo que los estudiantes de matemáticas sean las únicas personas que piensan en el área y la longitud. Si ha tomado un curso de cálculo estándar, probablemente haya calculado el área de una región aproximándola con rectángulos, y si no prestó demasiada atención en su curso de cálculo estándar, podría pensar que también puede calcular perímetros de regiones aproximándolas con rectángulos. Ese es un contexto con el que es justo decir que muchas personas que han ido a la universidad o que les fue bien en la escuela secundaria están familiarizadas.
@Qiaochu Yuan, veo lo que quiere decir con que el área podría tomarse para corresponder a la longitud, incluso si no es así como la medimos y es totalmente ridículo cuando considera cómo puede agrupar millas de cuerda delgada en un área pequeña y que un el triángulo y el cuadrado (cada uno "fácilmente" medible) tienen diferentes proporciones de área a perímetro. En este contexto, que la respuesta superior aborda un posible malentendido particular sobre cómo se relacionan la longitud y el área, no veo por qué abordar otras preocupaciones => <0 puntuación? De todos modos, gracias por aclararme la primera respuesta. Realmente no estaba pensando en esa confusión.
@Qiaochu Yuan, gracias por tomarse el tiempo para abordar mis inquietudes. Mi "respuesta" no es tan clara de todos modos.
@Qiaochu: "realmente no era necesario publicar una nueva respuesta... [este hilo] ya es bastante antiguo". - Estoy en desacuerdo con ese postulado. Publicar en hilos antiguos (incluso aquellos con respuestas aceptadas) no solo está permitido, sino que se recomienda : no queremos convertirnos en otro Yahoo Respuestas. Dicho esto, no estoy votando esta respuesta por una razón diferente: no creo que responda la pregunta.

MCCCS · Answer 15

Prueba por contradicción

¿Cuál es el perímetro de un polígono regular con un círculo inscrito de la unidad de diámetro?

Tiene apotema igual al radio (distancia entre un lado y el centro): $\frac{1}{2}$

El ángulo central frente a un lado es $\frac{360^\circ}{n}$ .

^{Al lado de 180 dice "grados"}

Así que un lado entero es de longitud $2\cdot \left(\frac{1}{2}\tan{\frac{180^\circ}{n}}\right)$

Hay $n$ lados, entonces tiene perímetro ${n\tan{\frac{180^\circ}{n}}}$

El método de plegado (detalles al final de la respuesta) conserva el perímetro. Entonces el perímetro del polígono es igual a la circunferencia del círculo

Dividiendo por el diámetro (las definiciones de $\pi$ ), cual es $1$ , obtenemos $\pi = n\tan{\frac{180^\circ}n}$

_{^{(que en realidad solo es correcto cuando $\lim_{n\to \infty}$ ! Piense en cómo las diferentes opciones de $n$ puede cambiar el valor calculado de $\pi$ !)}}

la contradicción

Sustituye el cuadrado por un triángulo, y aplica los mismos pasos y verás que $\pi = 3\tan{\frac{180^\circ}{3}} \approx 5.196$

Sustituye el cuadrado por un hexágono, y aplica los mismos pasos y verás que $\pi = 6\tan{\frac{180^\circ}{6}} \approx 3.464$

Reemplace el cuadrado con un eneadecágono (19-gon), y aplique los mismos pasos y verá que $\pi = 19\tan{\frac{180^\circ}{19}} \approx 3.171$

Conclusión

Esta forma de calcular $\pi$ asumiendo $\text{circumference} = \text{perimeter}$ no es válido, ya que se contradice consigo mismo.

Descripción adicional

La línea verde divide en dos la distancia entre el ángulo y el arco. Representa el plegado. Si repetimos esto varias veces (aplicándolo a los vértices recién formados en cada paso), encontraremos que la circunferencia del círculo es igual al perímetro del polígono porque, después de cada paso:

todos los vértices se acercan al círculo
el número de vértices se duplica
el perímetro se mantiene constante

La parte del polígono en la imagen es de un pentágono. No importa cuál sea el ángulo o cuántos lados tenga el polígono, podemos doblar cada vértice infinitas veces y encontrar "circunferencia = perímetro", pero como cada polígono tendría un perímetro diferente , tenemos autocontradicción.

Me encantó cómo todas las otras respuestas eran largas y un poco complicadas y luego tienes una respuesta entre ellas tan corta y dulce. Pero de acuerdo con su contradicción, ¿significa esto que un círculo tiene $π$ lados?
@GeorgeN.Missailidis > "Aplica los mismos pasos" < = Después de doblar las esquinas varias veces, verás que $\pi = n$ , por ejemplo, 4 para el cuadrado. El problema es "No podemos alcanzar el infinito". Vea esto: imgh.us/Screen_Shot_2017-07-23_at_18.20.26.png
Mmm. Un $n$ - polígono regular de lados circunscrito alrededor de un círculo unitario tiene perímetro no $n$ , pero $2n\tan(\pi/n)$ .
Voté a la baja sin pensar cómo podría funcionar "aplicar los mismos pasos" (me di cuenta de mi error, pero no hasta que el voto estuvo bloqueado), así que gracias por aclarar proactivamente a este idiota aquí. Lo lamento. 😔
Sin embargo, para ampliar el comentario de Zach Teitler: Para $n \geq 5$ , el regular $n$ -gon con longitud de lado $1$ ya no circunscribe el círculo con diámetro $1$ . Esto tiene las siguientes implicaciones: (1) Especialmente para los más grandes $n$ , puede haber varios pasos de plegado al principio que no tocan el círculo. (2) No hay nada especial geométricamente en tener un perímetro $n$ ; podemos elegir cualquier longitud de lado, siempre que el polígono regular resultante pueda contener el círculo. Entonces, de hecho, usando un $n$ -gon, en realidad podemos mostrar " $\pi = x$ " para cualquier número real $x \geq 2n \tan(\pi/n)$ .
Una afirmación que es incorrecta en su respuesta: "Reemplace el cuadrado con un triángulo, y aplique los mismos pasos y verá que $\pi = 3$ " es falso, porque si un camino siempre se mantiene a distancia $\epsilon$ del círculo, entonces la longitud del camino debe ser al menos $(1-2\epsilon)\pi$ , la circunferencia del límite interior.
@epimorphic Tienes toda la razón, entendí mal el comentario de Zach y no vi mi error. Estoy editando ahora. muchas gracias por explicarlo

keiths · Answer 16

Ah, el viejo proceso de pensamiento ingeniero vs matemático.

Coloque un ingeniero y un matemático en un extremo de una habitación. En el otro extremo hay una mujer hermosa. En cada "paso", cada uno puede moverse la mitad de la distancia restante entre su posición actual y la mujer. El matemático dirá que nunca la alcanzarás. El ingeniero dirá que puedes acercarte lo suficiente.

Este problema es similar. Las esquinas más externas de un cuadrado unitario se "doblan" hacia adentro para tocar un círculo de 1/2 unidad hasta que hay tantas esquinas que el cuadrado es, en este nivel de zoom, indistinguible del círculo mismo (similar al uso de píxeles rectangulares). Repetidas "hasta el infinito" las dos formas tendrían la misma área. Sin embargo, este proceso nunca producirá un círculo matemático; sólo la aproximación de un ingeniero ("suficientemente cerca"). Esto siempre producirá la misma medida del perímetro incluso cuando las áreas de las dos formas converjan. Si, en cambio, tuviera que medir alrededor de las hipotenusas mientras itera esta definición de forma, el perímetro COMENZARÍA a acercarse al de la circunferencia de la mitad del círculo unitario, $\pi$ .

La falacia de la prueba se ilustra si consideras la forma que tienen dos segmentos de línea que se intersecan en un punto que no es el círculo. Estas dos líneas inscribirán una longitud de arco ya que cada una se cruza con un punto diferente en el círculo. Para simplificar, puedes pensar en la forma resultante como un triángulo rectángulo. La prueba consiste básicamente en afirmar que la suma de las longitudes de los dos catetos de ese triángulo es igual a la hipotenusa. Esto nunca es cierto, porque el Teorema de Pitágoras de $a^2+b^2=c^2$ nunca vale para nada $a,b,c > 0$ dónde $a+b=c$ .

La única forma en que puede funcionar es para un $a$ o $b$ eso es cero y por lo tanto el área de la forma es cero; esto nunca sucede en la construcción que se genera, en ningún intervalo, porque por la definición de la construcción tenemos dos puntos que se encuentran en el círculo y un punto que se encuentra fuera del círculo, y de la geometría, tres puntos no colineales siempre se inscribirán una forma dentro de un plano de área distinta de cero.

¿Quizás te refieres al 90% de la distancia restante? ¿O estás diciendo que 1/9 del camino es lo suficientemente cerca para el ingeniero? :-)
El problema de la mujer inalcanzable es un argumento equivocado para este problema. Esto porque si la secuencia de perímetros convergiera a la del círculo, entonces no solo pi podría hacerse lo más cercano posible a 4 sino también pi ES 4 (al contrario del problema de la mujer inalcanzable, donde el límite no lo alcanza ningún elemento en la secuencia). Esto porque pi es un número fijo, y si a,b son reales, $|a-b|<\epsilon$ para cada $\epsilon$ implica $a=b$

Cabina G · Answer 17

Podemos decir que el proceso descrito en realidad demuestra que

\frac{\sqrt{2}}{2} 4 < π < 4

$\frac{\sqrt{2}}{2} 4 < \pi < 4$

Jose_X · Answer 18

Explicación geométrica simple

Considere la aproximación a la circunferencia (a Pi) que sugiere la pregunta. Llámalo un enfoque paso a paso.

Considere la aproximación de usar un polígono regular inscrito o circunscrito para aproximar la circunferencia. Llámalo un enfoque de polígono.

Notemos lo siguiente.

1: Un enfoque escalonado se basa completamente en ángulos de 90 grados.

2: Mientras tanto, un enfoque de polígono regular tiene los ángulos obtusos y en realidad se aproxima a 180 grados a medida que aumenta el número de lados.

3: Si hacemos zoom, ya no podemos distinguir un pequeño segmento del círculo de una línea recta.

En la construcción de pasos, cuando estamos en un conteo de iteraciones muy alto, cada paso comienza en un extremo de un pequeño segmento y termina en el otro extremo. En algunos casos a medida que damos la vuelta al círculo, la componente de paso vertical será muy corta y luego una componente horizontal larga. En estos casos, la construcción escalonada se aproximará al diminuto segmento "casi recto" del círculo en longitud. Pero en muchos otros casos, el paso hacia arriba será más largo. En el caso extremo, la parte vertical superior es exactamente tan larga como la parte horizontal. En este caso extremo, estamos aproximando la longitud de la hipotenusa "plana" de un triángulo rectángulo isósceles para que sea igual a la suma de los 2 catetos. Está claro que es una mala aproximación. Estos casos con bastante mala aproximación ocurren regularmente.

Contraste con el enfoque de polígono. Aquí aproximamos la longitud del lado más largo de un triángulo isósceles a la suma de las longitudes de los 2 lados iguales. En todos los casos, esta es una buena aproximación, ya que el polígono debe ser necesariamente de casi 180 grados para lograr "continuidad" en la pendiente hasta el siguiente segmento. (Es un polígono convexo).

Resumen: El enfoque escalonado debe usar pseudo-triángulos de 90 grados donde las 2 piernas cortas se usan para aproximar la pierna larga "casi recta". Esto es claramente insuficiente en muchos casos, particularmente cuando el triángulo está cerca de isósceles. Por el contrario, en el enfoque del polígono, el triángulo siempre tiene un ángulo que se aproxima a los 180 grados, por lo que la suma de los 2 catetos cortos es necesariamente igual (en términos de porcentajes relativos) a la longitud del cateto "casi recto".

¿Puede explicarse la persona que votó negativo? (golpeteo de pies y brazos cruzados... jajaja)

usuario347499 · Answer 19

Muchas de las respuestas anteriores han cubierto esto de manera rigurosa, así que intentaré poner algo de intuición detrás.

Dejar $C_n$ Sea la circunferencia de su parametrización. asumes que $\pi = \lim_{n \to \infty} C_n$ . El problema radica en que $\pi$ no está definido como tal límite. De hecho, el argumento es fundamentalmente defectuoso al suponer $[\forall n \in \mathbb N, \,\,P(S_n)] \implies P(\lim_{n \to \infty} S_n)$ , es decir, si cada elemento de una secuencia satisface alguna propiedad $P$ , el límite de la secuencia misma satisface $P$ .

Aplicando un argumento similar, puede demostrar que $\mathbb R = \mathbb Q$ . Dejar $r \in \mathbb R$ . Dejar $c_n$ Sea la secuencia de Cauchy de $r$ . Desde $c_n \in \mathbb Q$ , $r \in \mathbb Q$ . Desde $\mathbb Q \subseteq \mathbb R$ , tenemos $\mathbb R = \mathbb Q$ .

Despedida · Answer 20

Aunque hay muchas respuestas, me gustaría agregar la siguiente explicación simple y no rigurosa, si esto pudiera llamarse una explicación, que usa solo las nociones de contabilidad e incontabilidad.

Denotemos la curva a la que llegamos después de la $n$ "pasos de eliminación" como $A_n$ y denotemos el círculo al que nos estamos aproximando como $C$ . Para cada $n \in \mathbb N$ tenemos que el conjunto $A_n \cap C$ es finito porque hay un número finito de puntos que se encuentran tanto en la curva como en el círculo.

en el limite $\lim_{n \to \infty} A_n \cap C=A \cap C$ tenemos que la curva límite $A$ y el circulo $C$ tener un número infinito de puntos que están ambos en la curva $A$ y en el circulo $C$ pero el conjunto de todos esos puntos es contable y el círculo tiene un número incontable de puntos.

Entonces, con este análisis simple y elemental, vemos que la curva límite $A$ y el circulo $C$ no coinciden, de hecho, casi todos los puntos de la curva $A$ no estará en el círculo $C$ por lo que no es una gran sorpresa que sus longitudes sean diferentes.

Esto me parece perder el punto. Primero, el mismo argumento se aplica a una regla regular inscrita o circunscrita. $n$ -gon, pero ahora "la respuesta sale como se esperaba". Por el contrario, si modifica la curva de aproximación del OP reemplazando una porción con un arco circular arbitrariamente corto, la longitud de la "aproximación" no cambia apreciablemente, pero la curva de aproximación ahora cruza el círculo en innumerables puntos.
@ AndrewD.Hwang Tiene razón, solo estaba agregando una observación simple de que en el límite, la curva límite no coincidirá con el círculo para que no haya paradoja. En este caso la curva en cada paso tiene la misma longitud pero en el caso de regulares inscritos o circunscritos $n$ -gons la longitud disminuye y converge a $\pi$ para los circunscritos y aumenta y converge a $\pi$ para los inscritos, pero en esta "paradoja" es constante a cada paso, esa es la diferencia.

sasquires · Answer 21

Si un estudiante de primer año de cálculo me hiciera esta pregunta, entonces lo primero que haría sería escribir lo siguiente en la pizarra:

\sqrt{d X^{2} + d y^{2}} \neq | d X | + | d y |

$\sqrt{dx^2 + dy^2} \ne |dx| + |dy|$ (Este sigue siendo un error bastante común entre los estudiantes de matemáticas de secundaria, pero cuando alguien aprenda cálculo, espero que se dé cuenta de que está mal).

Si consideras cualquier elemento infinitesimal del círculo, la longitud es

d ℓ = \sqrt{d X^{2} + d y^{2}}

$d\ell = \sqrt{dx^2 + dy^2}$ La única relación entre el círculo y la curva de "aproximación" es que tienen el mismo valor de

| d x | + | d y |

$|dx| + |dy|$ , que no es una cantidad significativa cuando se habla de longitud (al menos, como se ha señalado, cuando se utiliza una métrica euclidiana). El valor de

d ℓ

$d\ell$ no es igual para ningún elemento infinitesimal correspondiente de las dos curvas, por lo que no hay razón para creer que será el mismo para todo el polígono.

Konstantinos Gaitanas · Answer 22

No estoy satisfecho con ninguna de las respuestas hasta ahora, así que aquí está la mía:
Vamos $S(n)$ ser la forma que tenemos después $n$ "pliegues". (Por ejemplo $S(0)$ es el cuadrado al principio. )

La construcción de la "paradoja" podría reclamar uno de los siguientes:

Dado que el área de $S(n)$ es decreciente, el perímetro de $S(n)$ se acerca a la zona de $C$ .

O,

Dado que el área de $S(n)$ es decreciente, el área de $S(n)$ se acerca a la zona de $C$ .

El primero ni siquiera tiene sentido, ya que el área de una figura no es lo mismo que el perímetro. No hay razón para conectar el área con el perímetro.

La segunda es correcta. Después de un millón de repeticiones, el área del polígono que obtenemos de "doblar" $S$ será aproximadamente igual a $\pi$ . Pero esto no tiene nada que ver con el número. $4$ , ya que este era el perímetro de $S$ .

Anixx · Answer 23

En realidad, la respuesta a esta pregunta depende de la compactación elegida.

Puede haber compactación en la que el límite de su perímetro no sea ni $\pi$ , ni $4$ . Es un número no real, que tiene módulo $4$ pero parte regularizada (real) $\pi$ .

Puedes imaginar otro número similar si consideras $(-1)^\infty$ . tiene limite de modulo $1$ pero (Cesaro- o Abel-) el valor regularizado es $0$ .

Los valores regularizados no necesariamente tienen que ser más pequeños que el módulo, también hay ejemplos opuestos.

La paradoja de la escalera, o por qué π≠4π≠4\pi\ne4

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