El título parece un poco más generalizado, pero me refiero a los filósofos y matemáticos del pasado que discutían sobre el concepto de nada , o el conjunto vacío . Actualmente estoy estudiando teoría de conjuntos nuevamente, y estoy tratando de entender los conceptos de la manera más completa posible. Pero no entiendo por qué hemos tenido problemas para entender el concepto del conjunto vacío , y por qué hay un axioma llamado "El axioma de la existencia", que también se llama "El axioma del conjunto vacío".
Primero, permítanme comenzar con la introducción de mi comprensión de la nada ; Antes de definirlo, tengo que presentar un subuniverso (no he encontrado ninguna forma rigurosa de explicarlo todavía, pero solo de manera informal).
Definición 1. Un subuniverso es una parte de mis (o nuestras) percepciones.
La razón por la que defino esto es para evitar algunas paradojas (por ejemplo, la paradoja de Russell) de El universo del discurso . En matemáticas, limitamos nuestras percepciones o análisis por medio de los axiomas. El subuniverso tiene contextos similares, pero podemos elegir un universo más pequeño como queramos si adoptamos este concepto. (Tenga cuidado de que este concepto solo se puede aplicar de manera relevante cuando se satisfacen las reglas de inferencia o las reglas de los pensamientos. Es decir, no debe contener ninguna paradoja).
Ahora introduzco la definición de nada ;
Definición 2. Sea S un subuniverso. Decimos que una cosa no es nada en S si y solo si la cosa no contiene ningún elemento de su subuniverso .
Por ejemplo, suponga que hay una caja que contiene una bola azul y una bola verde. Y luego denotemos esto como un conjunto B, B={bola azul, bola verde}. Y defina un subuniverso, S, en esta situación que contiene el conjunto B. Y ahora, quitaré 'las bolas' de la caja, que se pueden denotar con {}. Entonces la caja es nada en S.
Desde este punto de vista, si podemos expandir un subuniverso lo más total posible, entonces creo que no hay problema con el concepto de nada . Ciertamente no tengo ningún problema en entender nada , por lo que realmente no puedo obtener ninguna necesidad de "El axioma de la existencia". En resumen, mi pregunta es simple;
Pregunta. ¿Por qué "El axioma de la existencia"?
El conjunto vacío como concepto en ZFC no es problemático ya que satisface propiedades formales.
Es problemático cuando preguntamos qué significa esto en términos ontológicos ; o, como señaló Parménides, no podemos concebir el vacío: el vacío no existe; no nos preocupa que se haya asignado un nombre, el vacío, a este objeto supuestamente inconcebible. El nombre del vacío, por supuesto, es diferente al vacío mismo. Podemos percibir el nombre pero no su referente el vacío.
Pensáramos en un conjunto vacío como un conjunto que se refiere al vacío, entonces no tiene referente.
Deben distinguirse estos dos sentidos; sólo el primer sentido es una buena descripción.
Algunas pistas.
Ver en Wiki Conjunto vacío :
Teoría axiomática de conjuntos : en la teoría de conjuntos de Zermelo, la existencia del conjunto vacío está asegurada por el axioma del conjunto vacío, y su unicidad se deriva del axioma de extensionalidad. Sin embargo, el axioma del conjunto vacío puede mostrarse redundante de dos maneras:
Ya existe un axioma que implica la existencia de al menos un conjunto. Dado tal axioma junto con el axioma de separación, la existencia del conjunto vacío se demuestra fácilmente. En presencia de urelementos, es fácil demostrar que existe al menos un conjunto, a saber. el conjunto de todos los urelementos. Nuevamente, dado el axioma de separación, el conjunto vacío se prueba fácilmente.
Cuestiones filosóficas : si bien el conjunto vacío es un concepto matemático estándar y ampliamente aceptado, sigue siendo una curiosidad ontológica, cuyo significado y utilidad son debatidos por filósofos y lógicos.
El conjunto vacío no es lo mismo que nada ; más bien, es un conjunto sin nada dentro y un conjunto siempre es algo. Este problema se puede superar al ver un conjunto como una bolsa; sin duda, todavía existe una bolsa vacía. Darling [DJDarling (2004), El libro universal de las matemáticas , John Wiley and Sons, p.106] explica que el conjunto vacío no es nada, sino “el conjunto de todos los triángulos de cuatro lados, el conjunto de todos los números que son más grande que nueve pero más pequeño que ocho, y el conjunto de todos los movimientos de apertura en el ajedrez que involucran a un rey".
Puedes ver en MathSE, alguna publicación sobre el conjunto vacío:
y más ...
Un conjunto no es un contenedor sino sólo su contenido. Entonces uno puede tomar la posición: Sin contenido no hay conjunto. Para los modernos teóricos de conjuntos no hay problema porque están entrenados para ser atraídos por propiedades obviamente contrarias a la intuición o contrafactuales (como el axioma de elección en casos donde una elección, es decir, una distinción real de un elemento de todos los demás es imposible). Pero incluso los fundadores de la teoría de conjuntos consideraban que el conjunto vacío era problemático o inexistente. A continuación, cito algunas declaraciones raramente conocidas.
Bernard Bolzano, el inventor del conjunto de nociones (Menge) en matemáticas no habría llamado a la nada un conjunto vacío. En alemán la palabra conjunto tiene el significado de muchos o gran cantidad. A menudo encontramos en los textos alemanes la expresión große (grande o grande) Menge, rara vez la expresión kleine (pequeño) Menge. Por lo tanto, Bolzano se disculpa por usar esta palabra en el caso de conjuntos que tienen solo dos elementos: "Permítame llamar también conjunto a una colección que contiene solo dos partes". [J. Berg (ed.): B. Bolzano, Einleitung zur Grössenlehre, Friedrich Frommann Verlag, Stuttgart (1975) p. 152]
También Richard Dedekind descartó el conjunto vacío. Pero aceptó el singleton, es decir, el conjunto no vacío de menos de dos elementos: "Para la uniformidad de la redacción es útil permitir también el caso especial de que un sistema S consta de un único (de uno y sólo uno) el elemento a, es decir, que la cosa a es elemento de S pero toda cosa distinta de a no es elemento de S. El sistema vacío, sin embargo, que no contiene ningún elemento será excluido completamente por ciertas razones, aunque podría ser conveniente para que otras investigaciones fabriquen tal". [R. Dedekind: "¿Fue sind und was sollen die Zahlen?" Vieweg, Braunschweig 1887, 2ª ed. (1893) pág. 2]
Bertrand Russell consideraba que una clase vacía no existía: "Una clase existente es una clase que tiene al menos un miembro". [Bertrand Russell: "Sobre algunas dificultades en la teoría de números transfinitos y tipos de orden", Proc. Matemáticas de Londres. Soc. (2) 4 (1906) pág. 47]
Georg Cantor mencionó el conjunto vacío con algunas reservas y solo una vez en todo su trabajo: "Además, es útil tener un símbolo que exprese la ausencia de puntos. Elegimos por ese motivo la letra O. P = O significa que el conjunto P no no contiene ningún punto único. Entonces, estrictamente hablando, no existe como tal ". [Cantor, pág. 146]
E incluso Ernst Zermelo que hizo el "Axioma II Hay un conjunto (impropio), el 'conjunto nulo' 0 que no contiene ningún elemento" [E. Zermelo: "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I", Mathematische Annalen 65 (1908) p. 263], este mismo Zermelo dijo en correspondencia privada: "No es un conjunto genuino y fue introducido por mí solo por razones formales". [MI. Zermelo, carta a A. Fraenkel (1 de marzo de 1921)] "Cada vez dudo más de la justificación del 'conjunto nulo'. Tal vez se pueda prescindir de él restringiendo el axioma de separación de una manera adecuada. De hecho, sólo sirve para el propósito de simplificación formal”. [MI. Zermelo, carta a A. Fraenkel (9 de mayo de 1921)]
Por lo tanto, es tanto más valiente que Zermelo basara su sistema numérico completamente en el conjunto vacío: { } = 0, {{ }} = 1, {{{ }}} = 2, y así sucesivamente. Sabía al menos que solo hay un juego vacío. Pero se podrían idear muchas formas de crear el conjunto vacío, como el conjunto vacío de números, el conjunto vacío de plátanos, el conjunto vacío de unicornios, los innumerables conjuntos vacíos de todos los singletons reales y el conjunto vacío de todos estos conjuntos vacíos. . ¿Es el conjunto más vacío? De todos modos, "cero cosas" significa "ninguna cosa". Entonces podemos decir con seguridad (nunca mejor dicho): nada se llama el conjunto vacío.
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Mauro ALLEGRANZA