¿Puede cualquier simplectomorfismo (1 Definición de transformación canónica) ser representado por el flujo de un campo vectorial?

OP hace buenas preguntas.

En primer lugar, mencionemos que existe una correspondencia biyectiva entre flujos simplécticos de 1 parámetro y flujos independientes de parámetros.$^1$ campos vectoriales simplécticos . Estos últimos son por definición campos vectoriales.$X\in \Gamma(TM)$que conservan la forma simpléctica de 2${\cal L}_X\omega=0$.

OP esencialmente pregunta lo siguiente (algo de eso en versiones anteriores de la pregunta).

1. ¿El grupo de simplectomorfismo está conectado por caminos?

Respuesta: No necesariamente, podría haber obstrucciones topológicas.

Contraejemplo 2D: Deja que el espacio de fase$M=\mathbb{S}^2$ser la 2-esfera equipada con la 2-forma simpléctica estándar$\omega$. El segundo grupo de homotopía $\pi_2(\mathbb{S}^2)\cong\mathbb{Z}$no es trivial.$\Box$

2. ¿Es cualquier simplectomorfismo el 1 tiempo de un flujo simpléctico de 1 parámetro, es decir, es el exponencial$\exp(X)$de un campo vectorial simpléctico$X$?

Respuesta: No necesariamente, podría haber obstrucciones topológicas.

Contraejemplo 2D conjeturado: considere el espacio de fase$M=\mathbb{R}^2$con la forma simpléctica 2$\omega =\mathrm{d}p\wedge \mathrm{d}q$. Considere la transformación canónica

$$\begin{bmatrix} Q \cr P \end{bmatrix} ~=~ A\begin{bmatrix} q \cr p \end{bmatrix}, \qquad A~:=~\begin{bmatrix} -2 & 1\cr 3 & -2 \end{bmatrix}~\in~Sp(2,\mathbb{R})~=~SL(2,\mathbb{R}).$$

Afirmamos que este simplectomorfismo no puede ser generado por un flujo simpléctico. Un hecho revelador es que la matriz$A$no tiene raíz cuadrada.

Otra pista es que este simplectomorfismo sólo tiene el origen como punto fijo. Esto significa que un campo vectorial simpléctico$X$(para un flujo, si existe) puede a lo sumo desaparecer en el origen.

Curiosamente, uno puede escribir este simplectomorfismo como una transformación canónica con una función generadora de tipo 2

$$F_2(q,P)~=~-\frac{1}{2}qP +\frac{3}{4}q^2 - \frac{1}{4}P^2.$$

Sin embargo, conjeturamos que una deformación de 1 parámetro de la identidad$F_2(q,P)=qP$siempre debe pasar por un punto singular.

Vea también esta publicación relacionada con Math.SE.$\Box$

3. Es cualquier campo vectorial simpléctico$X\in \Gamma(TM)$un campo vectorial hamiltoniano ?

Respuesta: No necesariamente, podría haber obstrucciones topológicas. De hecho, esto se mide por el primer grupo de cohomología de Poisson .

Contraejemplo 2D: considere el espacio de fase$M=\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}$con la forma simpléctica 2$\omega =\mathrm{d}p\wedge \mathrm{d}q$. Se puede comprobar que el campo vectorial

$$X=\frac{q}{q^2+p^2}\frac{\partial}{\partial q} +\frac{p}{q^2+p^2}\frac{\partial}{\partial p}$$ es simpléctico pero no es un campo vectorial hamiltoniano. El problema es que el candidato ${\rm arg}(q+ip)$porque el generador hamiltoniano tiene varios valores y, por lo tanto, no está bien definido globalmente.

Ver también, por ejemplo, esto y esto relacionados Phys.SE publicaciones.$\Box$

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$^1$Tenga en cuenta que existe una noción de flujo correspondiente a un campo vectorial dependiente de parámetros . No consideraremos esto en esta respuesta. Dichos flujos se utilizan, por ejemplo, en esta publicación relacionada con MO.SE.