Teorema del volumen de Liouville en lenguaje de formas diferenciales

Formularé mi pregunta principalmente en palabras. Por lo general, encuentro el teorema del volumen de Liouville expresado en dos formas:

  1. Manera fácil (sin lenguaje de formas diferenciales): El volumen del espacio de fase permanece preservado bajo la dinámica hamiltoniana. Llamemos a este volumen de espacio de fase el 'volumen habitual'.

  2. Modo sofisticado (en el lenguaje de formas diferenciales): la forma del Volumen 2 no cambia con el flujo hamiltoniano.

Ahora, tengo la impresión de que la forma de volumen 2 cuando actúa sobre los vectores de desplazamiento, da el 'volumen habitual' y, por lo tanto, la forma de volumen 2 no es lo mismo que el 'volumen habitual'. Entonces, ¿no son equivalentes las dos formas anteriores de enunciar el teorema de Liouville? El primero habla de que el 'volumen habitual' no cambia y el segundo habla de que la forma del volumen 2 no cambia. Por favor, ayúdame a ver cómo son equivalentes estas dos declaraciones del teorema de Liouville.

¿Has consultado el libro de Vladimir Arnold'd? Debería abordar este punto.
La confusión en realidad surgió al leer el libro de Arnold.

Respuestas (1)

La forma simpléctica 2 es ω y por un 2 norte -espacio de fase dimensional, el volumen del espacio de fase es Ω = ω norte / norte ! .
Para ω = ∑ d pag ∧ d q esto es Ω = ± d norte pag d norte q .

Liouville dice que en un flujo hamiltoniano V dónde

d H = − i V ω
tenemos que la derivada de Lie L V ω = 0 . Esto se sigue de la fórmula de homotopía infinitesimal
L V ω = ( d i V + i v d ) ω
y el requisito de que d ω = 0 . La forma habitual de Liouville (volumen de espacio de fase conservado) es L V Ω = 0 , pero L V es una derivación, entonces
L V ω norte = norte ω norte − 1 ( L V ω ) = 0.
Así, el enunciado de dos formas implica la 2 norte -formulario de declaración de volumen.

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