¿Hamilton Mechanics proporciona un flujo general que conserva el espacio de fases?

Primero, echemos un vistazo a los sistemas unidimensionales con dimensión de espacio de fase$2$.

La forma de volumen es simplemente la simpléctica, es decir, cualquier flujo que conserva el volumen es simpléctica y, por lo tanto, al menos localmente hamiltoniano (pero no necesariamente globalmente).

Ahora, considere un espacio de fase arbitrario de dimensión$2n\geq4$con coordenadas canónicas$q^i,p^i$.

Hasta un factor constante, la forma del volumen es

$$\Omega = dq^1\wedge\cdots\wedge dq^n\wedge dp^1\wedge\cdots\wedge dp^n$$ y la forma simpléctica $$\omega = \sum_i dp^i\wedge dq^i$$ Echemos un vistazo al campo vectorial. $X$dada por $$X=q^1\frac{\partial}{\partial q^2}$$ Como $$\mathcal L_X\Omega = 0$$ el volumen del espacio de fase se conservará, pero como $$\mathcal L_X\omega \not= 0$$ el campo vectorial no es simpléctico y, por lo tanto, tampoco hamiltoniano.

I) De manera más general, OP esencialmente está reflexionando:

Dejar$X\in \Gamma(TM)$sea ​​un campo vectorial dado en un$2n$-variedad dimensional$M$. ¿Bajo qué condiciones es la ecuación de evolución

$$\tag{1} \frac{df}{dt} ~=~ X[f]+\frac{\partial f}{\partial t}$$ un sistema hamiltoniano? En otras palabras, ¿en qué condiciones se$X$un campo vectorial hamiltoniano ?

Globalmente, puede haber obstrucciones topológicas, así que de ahora en adelante en esta respuesta solo consideremos las condiciones locales. Localmente, los campos vectoriales hamiltonianos$X$(wrt. a una forma simpléctica de dos$\omega$) son precisamente los campos vectoriales$X$que preservan

$$\tag{2} {\cal L}_X \omega ~=~0$$ la forma simpléctica de dos $\omega$.

II) Descartando problemas globales, la pregunta real de OP podría interpretarse de la siguiente manera:

Es un campo vectorial libre de divergencia$X\in \Gamma(TM)$en un dado$2n$variedad simpléctica -dimensional$(M,\omega)$un campo vectorial hamiltoniano local? Aquí la forma de volumen es

$$\tag{3} \Omega~=~\frac{1}{n!}\omega^{\wedge n},$$ y un campo vectorial libre de divergencia satisface $$\tag{4} {\cal L}_X \Omega ~=~0.$$

Respuesta: No. De hecho, siempre es cierto en dos dimensiones. Sin embargo, no es necesariamente cierto en dimensiones$\geq 4$. Es fácil producir contraejemplos, cf. por ejemplo, la respuesta de Christoph.

III) Alternativamente, la pregunta real de OP podría interpretarse de la siguiente manera:

Que se dé un$2n$-variedad dimensional$(M,\Omega)$con forma de volumen$\Omega$y un no desaparecer$^1$campo vectorial$X\in \Gamma(TM)$que está libre de divergencias (4). ¿Existe localmente una forma simpléctica de dos formas?$\omega$tal que las ecs. (2) y (3) se cumplen?

Respuesta: ¡Sí!

Prueba esbozada: dado un punto$p\in M$con$X_p\neq 0$. Se puede mostrar que existe una carta local$U\subseteq M$con coordenadas$z=(z^1, \ldots z^{2n})$tal que$X$es localmente de la forma

$$\tag{5} X~=~\frac{\partial }{\partial z^2}.$$

Podemos suponer que el punto fijo$p\in M$corresponde a$z=0$. La forma de volumen será localmente de la forma

$$\tag{6}\Omega~=~\rho(z)~ \mathrm{d}z^1\wedge \ldots \wedge \mathrm{d}z^{2n}, \qquad \rho(z)~\neq~ 0.$$

ecuaciones (4) y (5) implican que$\rho(z)$no depende de$z^2$,

$$\tag{7} \frac{\partial \rho(z)}{\partial z^2}~=~0.$$

Localmente existe una función$f=f(z)$también independiente de$z^2$, tal que

$$\tag{8} \rho(z)~=~\frac{\partial f(z)}{\partial z^1}, \qquad \frac{\partial f(z)}{\partial z^2}~=~0.$$

Ahora cambia las coordenadas

$$\tag{9} w^1 ~:=~ f(z), \quad w^2 ~:=~z^2,\quad w^3 ~:=~z^3, \quad \ldots,\quad w^{2n} ~:=~z^{2n}.$$

El jacobiano será

$$\tag{10} J~:=~\det\frac{\partial w}{\partial z}~=~\frac{\partial f}{\partial z^1}~=~\rho~\neq 0,$$

entonces en las nuevas coordenadas$w^I$, la forma de volumen (6) es

$$\tag{11}\Omega~=~ \mathrm{d}w^1\wedge \ldots \wedge \mathrm{d}w^{2n},$$

mientras que el campo vectorial (5) se convierte en

$$\tag{12} X~=~\frac{\partial }{\partial z^2} ~=~\sum_{I=1}^{2n}\frac{\partial w^I}{\partial z^2} \frac{\partial }{\partial w^I} ~=~\frac{\partial f(z)}{\partial z^2}\frac{\partial }{\partial w^1} +\frac{\partial }{\partial w^2} ~\stackrel{(8)}{=}~\frac{\partial }{\partial w^2} .$$

A continuación renombramos las nuevas coordenadas

$$\tag{13} p_1 ~:=~ w^1, \quad q^1 ~:=~w^2,\quad p_2 ~:=~w^3, \quad q^2 ~:=~w^4, \quad \ldots,\quad q^{n} ~:=~w^{2n},$$

y definir una forma simpléctica de dos

$$\tag{14} \omega ~:=~\sum_{i=1}^n\mathrm{d}p_i\wedge \mathrm{d}q^{i}~=~\sum_{i=1}^n\mathrm{d}w^{2i-1}\wedge \mathrm{d}w^{2i}.$$

El campo vectorial (12) es localmente hamiltoniano

$$\tag{15} X~=~\frac{\partial }{\partial w^2}~=~\frac{\partial }{\partial q^1}~=~ -\{p_1, \cdot\}_{PB}.$$

Es sencillo ver que las ecs. (2) y (3) se cumplen. Fin de la prueba.

IV) La prueba se generaliza a la siguiente pregunta:

Que se dé un$2n$-variedad dimensional$M$con un no desaparecer$^1$campo vectorial$X\in \Gamma(TM)$. ¿Existe localmente una forma simpléctica de dos formas?$\omega$, tal que$X$Qué es un campo vectorial hamiltoniano?

Respuesta: ¡Sí!

V) El problema bidimensional también se considera en este post de Phys.SE.

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$^1$El campo vectorial$X$por razones técnicas se supone que no se desvanece, que es el caso genérico. Dejamos al lector reflexionar sobre el caso especial en el que el campo vectorial$X$desaparece$X_p=0$en un punto$p\in M$.