¿Puede cualquier cuerpo rígido físico ser representado por un elipsoide con la misma dinámica angular?

Según wikipedia, el tensor de inercia de un elipsoide con semiejes a , b , C y masa metro es

[ metro 5 ( b 2 + C 2 ) 0 0 0 metro 5 ( a 2 + C 2 ) 0 0 0 metro 5 ( a 2 + b 2 ) ] .

Si crea una matriz diagonal positiva arbitraria de 3x3 y trata de resolver la a , b , C , es muy fácil terminar con dimensiones imaginarias. Si trato de colocar masas puntuales separadas, parece que me encuentro con el mismo problema.

¿Eso significa que el tensor no representa una distribución de masa físicamente posible, o simplemente no es un sólido de densidad uniforme? Intuitivamente, al menos, parece que debe ser imposible que un tensor de inercia tenga un solo valor grande y dos valores pequeños, ya que una sola masa puntual con un radio distinto de cero siempre afectará dos dimensiones por igual y un anillo de altura infinitesimal. todavía deja las dos dimensiones menores con la mitad del momento del eje principal grande.

Otra forma de expresar la desigualdad triangular es Tr ⁡ ( I ) ≥ 2 λ i ( I ) ≥ 0 : La traza del tensor de inercia debe ser al menos el doble de grande que cada uno de los valores propios del tensor de inercia, cada uno de los cuales debe ser no negativo. Una consecuencia es que un tensor de inercia no puede tener un valor propio grande y dos pequeños.

Respuestas (1)

  1. Proposición: dado un cuerpo rígido arbitrario (y en relación con una elección arbitraria del punto de pivote del cuerpo rígido, y en relación con una elección arbitraria de coordenadas cartesianas X , y , y z ), entonces los elementos diagonales I X X , I y y , y I z z del tensor de inercia satisfacen la desigualdad triangular ,

    (1) I X X + I y y   ≥   I z z , I y y + I z z   ≥   I X X , I z z + I X X   ≥   I y y .
    Demostración esbozada: Escribe la definición de momento de inercia. ◻

  2. Observación: De la desigualdad triangular (1) se sigue solamente que

    (2) I X X , I y y , I z z   ≥   0
    son no negativos. (La desigualdad (2) por supuesto también se deriva de la definición de momento de inercia.)

  3. Corolario de la proposición: dado un cuerpo rígido arbitrario (y en lugar de una elección arbitraria del punto de pivote del cuerpo rígido), entonces los tres momentos de inercia I X , I y , y I z , en torno a los tres ejes principales (que llamaremos X , y , y z ) satisfacen la desigualdad triangular ,

    (3) I X + I y   ≥   I z , I y + I z   ≥   I X , I z + I X   ≥   I y .

  4. En otras palabras, si un real simétrico definido semipositivo 3 × 3 matriz con valores propios no negativos I X , I y , y I z no satisface la desigualdad triangular (3), no representa una distribución de masa físicamente posible.

  5. Por el contrario, se puede demostrar que dados tres valores propios I X , I y , y I z que satisfacen (3), pueden ser reproducidos por un elipsoide sólido con una elección única de semiejes no negativos a , b , y C (único hasta el escalamiento de la masa total metro ).

    2 5 metro a 2   =   I y + I z − I X   ≥   0 ,
    2 5 metro b 2   =   I z + I X − I y   ≥   0 ,
    (4) 2 5 metro C 2   =   I X + I y − I z   ≥   0.

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