¿Puede explicar intuitivamente el período de tiempo de oscilación decreciente con el aumento de la longitud del péndulo en algunos casos?

Considere un cuerpo rígido suspendido sobre un eje de rotación que, en general, no pasa por su centro de masa (COM) y tiene un momento de inercia (MOI) 0 < I a X i s sobre ese eje. Dejar I C denote el momento de inercia del objeto con respecto a un eje paralelo al mencionado anteriormente y que pasa por el COM. El teorema del eje paralelo implica que I a X i s = I C + metro yo 2 dónde 0 ≤ yo es la distancia entre los dos ejes. De la dinámica de rotación del objeto. I a X i s θ ¨ = − metro gramo yo θ , dónde 0 ≤ θ → 0 es el (pequeño) desplazamiento angular del objeto, podemos precisar el período de tiempo de oscilación como T = 2 π metro gramo yo I a X i s de modo que T ∝ I a X i s metro yo .

En el caso del péndulo simple, I C ≈ 0 de modo que I a X i s = metro yo 2 , y por lo tanto T ∝ yo lo que lleva a la conclusión habitual (que coincide con nuestra comprensión física intuitiva) de que el período de tiempo de las pequeñas oscilaciones aumenta a medida que la longitud yo aumenta _ Sin embargo, en el caso de cuerpos rígidos generales, es decir, no de masas puntuales, el álgebra da como resultado T ∝ I C metro yo + yo . De la gráfica se puede ver que esta expresión explica la observación aparentemente contraria a la intuición de que para cuerpos rígidos generales (es decir, no masas puntuales), para cuerpos pequeños yo , el período de tiempo de las pequeñas oscilaciones se reduce a medida que la longitud yo aumenta , en un sentido matemático.

En el caso de un péndulo simple, es físicamente intuitivo que el período de tiempo debe aumentar con el aumento de yo (la distancia recorrida en una oscilación aumenta linealmente con yo , mientras que la fuerza motivadora permanece aproximadamente de la misma magnitud independientemente de yo ). En el mismo sentido, ¿cuál es la explicación física intuitiva de este comportamiento aparentemente contraintuitivo?

1

Respuestas (2)

Considere un péndulo que consta de 2 puntos de masa metro conectadas por una barra rígida sin masa de longitud h . Suspéndalo en el centro de masa. No oscila.

Suspenderlo a una pequeña distancia, d X , sobre el centro de masa. Gíralo 90 grados. Oscila lentamente. El momento del intertial, I , es casi lo mismo que si estuviera suspendido en el centro. el par es τ = metro gramo d X . La aceleración angular es α = τ / I .

suspenderlo 2 d X por encima del centro de masa. I sigue siendo casi el mismo. τ se ha duplicado, y también α .

Considere otras propiedades de los dos casos.

  • La distancia que recorre el centro de masa en una media oscilación se ha duplicado desde π d X a π 2 d X .
  • La disminución de energía potencial cuando se gira verticalmente se ha duplicado de metro gramo d X a metro gramo 2 d X . También lo ha hecho la energía cinética de rotación máxima.
  • La velocidad angular máxima, ω se ha cuadriplicado.

Estas relaciones se mantienen en cada ángulo durante las medias oscilaciones de cada caso. ω se cuadruplica en una trayectoria que es el doble de larga. El plazo se ha reducido a la mitad.

La dirección de la explicación me parece genial. Permítanme señalar que la energía potencial está asociada con el factor ( d X ) 2 (introduciendo así θ 2 asociado con la analogía resorte-masa del oscilador armónico con constante de resorte metro gramo yo considerado aquí). Además, la respuesta no aborda la intuición detrás de este aparente comportamiento contrario a la intuición solo en el caso de una longitud absoluta baja. yo (en lugar del cambio en la longitud d X en su análisis cualitativo).
tu = metro gramo h , dónde h es el cambio en la altura del COM. En este caso, h = d X o 2 d X . No hay ( d X ) 2 dependencia. El período solo disminuye en casos especiales como cuando el soporte está muy cerca del COM. Para un péndulo habitual, aumentar un poco la longitud provocaría un aumento del período. Esto es cierto tanto para un péndulo de reloj de pie con un gran bloque de latón como para un péndulo ideal con una masa puntual.
Acordado. Parece que no entendí bien la variable d X . Sin embargo, la respuesta no aborda el comportamiento aparentemente contrario a la intuición del período de tiempo decreciente con el aumento yo y por qué sucede solo en el caso de longitud absoluta baja yo .
No estoy seguro de cuánto puedo agregar a esto. Es casi toda la respuesta que tengo. Sucede para bajo absoluto yo = d X porque I no cambia mucho y τ hace. en más grande yo , ambos I y τ cambiar.
Ok, gracias por la respuesta muy sutil y agradable!
Estabas preguntando sobre pequeños desplazamientos angulares desde la posición de equilibrio. Para ello, girando 90 o del equilibrio era conveniente.
Creo que tu explicación tiene sentido aunque 90 ∘ no es un pequeño desplazamiento angular. Además, si el desplazamiento no es pequeño, entonces el movimiento es difícil de analizar, es decir, no es fácil obtener la relación entre el período de tiempo y el momento de inercia.

En el caso de un péndulo simple, es físicamente intuitivo que el período de tiempo debe aumentar con el aumento de l (la distancia recorrida en una oscilación aumenta linealmente con l). En el mismo sentido, ¿cuál es la explicación física intuitiva de este comportamiento aparentemente contraintuitivo?

En mi opinión, el comportamiento de un péndulo simple no es tan intuitivo. Supongo que si a un visitante común del Panteón de París se le pregunta sobre el período del péndulo de Foucault, no sería de extrañar que algunas respuestas pusieran la masa como variable, por ejemplo, y pasaran por alto el papel de la longitud.

Pero, podemos tener una intuición "educada" de las oscilaciones del cuerpo rígido: como el momento de inercia es α metro r 2 , dónde α es algo constante, creciente yo significa disminuir el parámetro de longitud ( r 2 yo ) dentro de la raíz cuadrada. El período es proporcional a la raíz cuadrada de la "longitud", por así decirlo, si l es pequeño en comparación con el otro término. Y la misa cancela.

Entonces su comportamiento es intuitivo en este sentido.

De hecho, no es trivial a primera vista que el período de tiempo sea independiente de la masa. Gracias por la respuesta ya que aclara la base de la pregunta planteada. Sin embargo, no aborda el comportamiento aparentemente contrario a la intuición del período de tiempo decreciente con el aumento yo y por qué sucede solo en el caso de longitud absoluta baja yo . Entiendo por qué sucede esto matemáticamente, pero creo que debe haber una explicación intuitiva.
¿Puede explicar intuitivamente el período de tiempo de oscilación decreciente con el aumento de la longitud del péndulo en algunos casos?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v