Pruebas sobre álgebra de operadores [cerrado]

Me gustaría pedirle a la comunidad que verifique las dos primeras pruebas a continuación y me ayude a superar la última, ya que parece que estoy atascado. Gracias de antemano.

Prueba 1: dados dos operadores que no conmutan$A$y$B$, eso es,$[A,B] = C$, muestre que tales operadores no pueden tener los mismos vectores propios.

Intentar:

Intentemos probarlo examinando el escenario opuesto, es decir, el caso de que compartan el mismo vector propio$|\phi \rangle$:

$$\begin{cases} A |\phi \rangle = a | \phi \rangle = |\psi_1 \rangle \\ B |\phi \rangle = b | \phi \rangle = |\psi_2 \rangle \end{cases}$$

$$B\left( A |\phi \rangle\right) = B |\psi_1 \rangle = b |\psi_1 \rangle = ba |\phi \rangle$$

$$A \left( B |\phi \rangle \right) = A |\psi_2 \rangle = a |\psi_2 \rangle = ab |\phi \rangle$$

$$[A,B]|\phi \rangle = \left( AB - BA\right)| \phi \rangle = \left( ab - ba \right)|\phi \rangle = C|\phi \rangle = c |\phi \rangle$$

$$(ab - ba) = c \neq 0$$

Vemos que la ecuación anterior debería ser igual a cero, por lo que no pueden compartir el mismo vector propio$|\phi \rangle$si no viajan.

Prueba 2: Demuestre que si el valor propio de un operador es un número real, entonces dicho operador debe ser hermitiano.

Intentar:

usemos$A$como nuestro operador, actuando sobre su vector propio$|\psi \rangle$, entonces

$$\begin{cases} A|\psi \rangle = a|\psi \rangle \\ \left( A |\psi \rangle \right)^{\dagger} = \langle \psi| A^{\dagger} = a^*\langle \psi| \end{cases}$$

$$\langle \psi| \left( A |\psi \rangle \right) = \langle \psi| a | \psi \rangle = a\langle \psi | \psi \rangle$$

$$\left( \langle \psi|A^{\dagger} \right) |\psi \rangle = \langle \psi|a^*|\psi \rangle = a^* \langle \psi| \psi \rangle$$

$$\langle \psi| A |\psi \rangle - \langle \psi|A^{\dagger} |\psi \rangle = a\langle \psi | \psi \rangle - a^* \langle \psi| \psi \rangle$$

Según la definición, un operador hermitiano es cualquier operador autoadjunto, es decir$A = A^{\dagger}$, también del espacio de Hilbert, se sabe que el producto interior de un vector por sí mismo es siempre cero o positivo, es decir$\langle \psi|\psi \rangle \geq 0$, siendo nulo si y solo si$|\psi \rangle = 0$, y este no es el caso aquí, ya que es trivial, por lo que

$$\langle \psi| A |\psi \rangle - \langle \psi|A^{\dagger} |\psi \rangle = \left(A - A^{\dagger} \right)\langle \psi|\psi \rangle = a\langle \psi | \psi \rangle - a^* \langle \psi| \psi \rangle = \left( a - a^*\right) \langle \psi|\psi \rangle = 0$$

$$a=a^*$$

Sólo los números reales son su propio conjugado.

Prueba 3: Dada una ecuación valor propio-vector propio, supongamos que el vectorestado depende de un parámetro externo, por ejemplo, el tiempo, y que sobre él actúa un operador que es la cuarta derivada respecto al tiempo. Si este operador es hermitiano, encuentre el operador más general posible que satisfaga estas condiciones y cuáles son las condiciones de contorno en las funciones propias que se necesitan.

Intentar:

Usando$A$como nuestro operador hermitiano y$|\psi (t) \rangle$por su vector propio dependiente del tiempo, y$a(t)$para su valor propio, supongo que la ecuación de valor propio-vector propio más simple que uno puede escribir sería

$$A|\psi (t) \rangle = a(t) |\psi (t) \rangle$$

En cuanto al operador, diría que se sigue directamente que

$$A \sim \frac{\partial^4}{\partial t^4}$$

$$a(t) = a^*(t)$$

Ahora, basado en la suposición de que he estado en lo correcto hasta ahora, viene la parte en la que estoy atascado. Entiendo el concepto general de valores propios y funciones propias, es decir$a(t)$generaría un conjunto de funciones propias$\psi(t)$, sin embargo, no soy completamente consciente de qué condiciones de contorno serían necesarias a partir de la información proporcionada, aparte del hecho de que$a(t)$es un número real. ¿Alguna pista?