¿Cómo probar esta desigualdad para el operador hamiltoniano?

Estoy tratando de probar lo siguiente:

⟨ ψ | H ^ | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | H ^ | ψ ⟩ − ⟨ ψ | H ^ | ψ ⟩ ⟨ ϕ | H ^ | ϕ ⟩ ⩽ 0.

Probé algunas ideas pero no pude llegar a ninguna parte. Aproveché el hecho de que H ^ es hermítica, y así el primer término de la desigualdad se convirtió en ⟨ ϕ | H ^ | ψ ⟩ ∗ ⟨ ϕ | H ^ | ψ ⟩ = | ⟨ ϕ | H ^ | ψ ⟩ | 2 y luego por la desigualdad de Cauchy Schwartz, | ⟨ ϕ | H ^ | ψ ⟩ | 2 ⩽ ⟨ ϕ | ϕ ⟩ ⟨ ψ | H ^ H ^ | ψ ⟩ , pero puedo ver que esto simplemente elimina | ϕ ⟩ del juego

Otra idea era escribir H ^ en el primer término en notación de producto exterior, esto da:

⟨ ψ | H ^ | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | H ^ | ψ ⟩ = ∑ i , j mi i mi j ⟨ ψ | i ⟩ ⟨ i | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | j ⟩ ⟨ j | ψ ⟩
Traté de trabajar en esto para obtener la desigualdad, pero no me llevó a ninguna parte.

Cualquier ayuda es apreciada.

Estás en el camino correcto. Pero, ¿por qué no dividirlo de otra manera con Cauchy-Schwartz? Escribir H = H H y dar una raíz cuadrada a cada uno de los vectores Psi y Phi.
Puede repetir esta demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwarz insertando H en medio de todos los productos escalares.

Respuestas (1)

  1. Contraejemplo 2D: Asumir

    ⟨ ψ | ψ ⟩   =   1   =   ⟨ ϕ | ϕ ⟩ , ⟨ ψ | ϕ ⟩   =   0 , H ^   =   | ψ ⟩ ⟨ ψ | − | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | .

  2. La desigualdad de OP es cierta para un operador semipositivo H ^ ≥ 0 , desde entonces tiene una raíz cuadrada bien definida H ^ , y se convierte en la desigualdad estándar de Cauchy-Schwarz.

Sí, claro, la solución que propuse solo funciona para hamiltonianos positivos. Este contraejemplo muestra que no es posible para todos los hamiltonianos.
Disculpe mi ignorancia, pero ese hamiltoniano parece tener un valor propio negativo para | ϕ ⟩ , ¿no se supone que solo tiene valores propios positivos?
Un operador hermitiano tiene valores propios reales (pero no necesariamente positivos).
@VIP Por lo general, se supone que el hamiltoniano está limitado desde abajo, por razones físicas. Sin embargo, el resultado solo es válido para operadores positivos y, por lo tanto, dado un hamiltoniano H delimitado desde abajo por − metro , metro > 0 , el resultado se cumple para el operador positivo H + metro . Físicamente, H + metro es equivalente a H , hasta un reescalado de la energía del estado fundamental.
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