¿Prueba ZZ\mathbf{Z} la existencia de una clausura transitiva de todo conjunto?

¿Es la teoría de conjuntos de Zermelo suficiente para probar la existencia de la clausura transitiva de cualquier conjunto? X ?

T C ( X ) = { X , ⋃ X , ⋃ ⋃ X , … }

Respuestas (1)

No, no lo hace.

Hay dos formas comunes de Z : con o sin el axioma de regularidad (o fundamento). Llamaré a estos " Z + " y " Z − " respectivamente.

Re: la versión con regularidad, que en mi experiencia es la presentación más común en estos días (¡a pesar de la página de wikipedia!), vea los resultados de Jensen, Schroder y Boffa citados al comienzo del artículo de Mathias sobre modelos delgados .

Re: la versión libre de regularidad, Esser y Hinnion demostraron que incluso el sistema más fuerte Z − + A F A + W R mi PAG no prueba la existencia de clausuras transitivas, donde A F A es el axioma de antifundamento de Aczel y W R mi PAG es una forma débil de reemplazo (Teorema 2.12 ).

Pero k PAG ω suficiente, ¿verdad?
@Sapiens Sí, así es.
Siempre encontré que el AFA de Azcel era de alguna manera una extensión natural de Fnd. Todavía dice que hay una solución única para cada ecuación; simplemente dice que se pueden resolver más ecuaciones, por lo que el universo sigue siendo bastante rígido. El gran lío comienza con "tengamos muchas soluciones para las mismas ecuaciones" y terminas con una clase adecuada de átomos o lo que sea.
¿Prueba ZZ\mathbf{Z} la existencia de una clausura transitiva de todo conjunto?
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