Algunas preguntas sobre el tamaño de las clases adecuadas en ZFC

Esta pregunta se hizo en MO hace un tiempo. A continuación cito la parte relevante de mi respuesta. Pero déjenme agregar algunos comentarios.

En ZFC (propiamente dicho) las clases no son objetos reales, solo los tratamos formalmente, y en realidad son solo atajos para fórmulas (con parámetros), es decir, identificamos fórmulas$\phi(x)$con la colección de conjuntos que satisfacen$\phi$.

Esto hace que hablar de relaciones entre clases sea algo incómodo. La amable respuesta de Arturo, por ejemplo, indica cómo se puede dar sentido, digamos, a una biyección entre dos clases. Un poco más formalmente, si$X$es la clase de$x$tal que$\phi(x)$y$Y$es la clase de$y$tal que$\psi(y)$, entonces una biyección entre$X$y$Y$es una clase$Z$dado por una fórmula$\rho(x,y)$tal que:

1. Para cualquier$x,y,z$, si$\rho(x,y)$y$\rho(x,z)$entonces$y=z$.
2. Del mismo modo, para cualquier$x,y,z$, si$\rho(x,y)$y$\rho(z,y)$, entonces$x=z$.
3. Para cualquier$x,y$,$\rho(x,y)$implica que$\phi(x)$y$\psi(y)$sostiene
4. Para cualquier$x$tal que$\phi(x)$hay un$y$tal que$\rho(x,y)$.
5. Y, para cualquier$y$tal que$\psi(y)$, hay un$x$tal que$\rho(x,y)$.

Esta torpeza también hace que sea imposible desarrollar una teoría de clases apropiada. Por ejemplo, la pregunta natural: "¿Están$X$y$Y$pf el mismo tamaño?" ni siquiera se puede preguntar en ZFC. Por supuesto, si hay un$\rho$como arriba, entonces podemos decir que tienen el mismo tamaño, como lo atestigua$Z$, y si no hay tal$\rho$, fuera de ZFC podemos decir que no tienen el mismo tamaño, pero todo lo que podemos hacer en ZFC es decir, de cualquier fórmula dada$\rho$, eso$\rho$no define una biyección entre$X$y$Y$.

Por supuesto, la equipotencia es solo un ejemplo de lo que no podemos discutir libremente sobre las clases. Así, cuando nos interesan las clases adecuadas, pasamos de ZFC a otras teorías. Hay (al menos) dos extensiones naturales de ZFC donde las clases pueden tratarse como objetos formales. Uno es NBG (Von Neumann-Bernays-Goedel). Aquí, los objetos son clases y los conjuntos son clases que pertenecen a otras clases.$Z$es una biyeccion entre$X$y$Y$si y si$A$es una función, su dominio es$X$y su rango es$Y$(al igual que con los conjuntos). Generalmente se prefiere NBG porque es una extensión conservadora de ZFC; en cierto sentido, todo lo que hemos hecho es permitir referencias a clases sin cambiar lo que entendemos por "conjunto" de ninguna manera. Formalmente, cualquier teorema de NBG que solo mencione conjuntos es un teorema de ZFC. Y nuestra interpretación de las clases dadas por fórmulas nos brinda una forma de extender cualquier modelo de ZFC a uno de NBG.

El hecho de que NBG sea conservador sobre ZFC es, en cierto sentido, una seria limitación, ya que limitamos la noción de clase de manera un tanto artificial. Cuando se discuten formulaciones elementales de incrustación de grandes axiomas cardinales (algo muy común en la teoría de conjuntos moderna), por ejemplo, la discusión se puede llevar a cabo en NBG, pero no de la manera más fluida posible. En términos técnicos, el axioma de comprensión en NBG es predicativo, pero es difícil justificar esto cuando permitimos clases adecuadas.

La extensión más natural de ZFC para tratar clases adecuadas es Morse-Kelley (MK). Aquí, la comprensión no tiene restricciones, por lo que es más natural combinar clases en otras nuevas mediante las operaciones habituales. El costo de esto es que MK no es una extensión conservadora de ZFC. De hecho, MK puede probar la consistencia de NBG (y por lo tanto de ZFC). Dicho esto, para discutir la equipotencia de clases, MK parece el marco apropiado.

Esto es lo que dije en la publicación de MO mencionada anteriormente:

En extensiones de la teoría de conjuntos donde se permiten clases (no solo formalmente como en ZFC, sino como objetos reales como en MK o GB), a veces se sugiere agregar un axioma (debido a Von Neumann, creo) que establece que dos clases cualesquiera están en biyección entre sí. Bajo este axioma, la "cardinalidad" de una clase propia sería ORD, la clase de todos los ordinales. (Por cierto, forzando la clase, dada cualquier clase adecuada, se puede agregar una biyección entre la clase y ORD sin agregar conjuntos, por lo que esta suposición no tiene implicaciones para la teoría de conjuntos propiamente dicha).

Sin asumir el axioma de Von Neumann, o el axioma de elección, no conozco ninguna forma sensata de dar sentido a esta noción, ya que ahora podríamos tener algunas clases propias que son "más delgadas" que otras, o incluso incomparables. Por supuesto, podríamos estudiar modelos donde esto suceda (por ejemplo, trabajar en ZF, asumir que hay un fuerte inaccesible$\kappa$y considera$V_\kappa$como el universo de conjuntos, y$Def(V_\kappa)$en el sentido de Gödel (o incluso$V_{\kappa+1}$) como la colección de clases).

Permítanme ampliar esto un poco. Argumento en ZFC ya que este es el marco más conocido de los tres mencionados anteriormente:

Primero, el forzamiento de clases nos permite agregar una biyección entre$V$y$ORD$sin sumar conjuntos. Esencialmente, lo que hacemos es "enhebrar" la clase de biyecciones entre conjuntos y ordinales. En la extensión resultante, no hemos agregado conjuntos, pero tenemos una nueva clase$G$. La estructura resultante$(V,G,\in)$es un modelo de la versión fuerte de ZFC donde permitimos$G$aparecer como un predicado en instancias del axioma de reemplazo. Además, cualquier clase adecuada$A$aquí (en el sentido de "definible por una fórmula") también está en biyección con los ordinales, y tal biyección es fácilmente definible a partir de$A$y$G$.

Esto muestra que la suposición de que todas las clases tienen el mismo tamaño es completamente inofensiva: no se pueden probar nuevos teoremas de ZFC agregando esta suposición.

Sin embargo, el modelo que obtenemos no es un modelo "natural" de NBG, ya que G no es definible.

La sugerencia de Arturo ($V=L$) nos da modelos donde las biyecciones entre clases y los ordinales son definibles. Tiene la desventaja de que V=L es bastante limitante. Como mencioné en los comentarios a su respuesta, hay una alternativa: podemos asumir$G$definible. Esto se debe a que, sobre cualquier modelo de ZFC, podemos obligar a obtener un nuevo modelo donde$V=HOD$(Por otro lado, una vez$V\ne L$no podemos obligar a recuperar la igualdad).

$HOD$es la clase de conjuntos definibles hereditariamente ordinales. Esto significa que$x\in HOD$implica que$x\subset HOD$, y que estar en HOD,$x$debe ser definible a partir de parámetros ordinales. Por supuesto$V=L$implica$V=HOD$, pero$HOD$es compatible con todos los cardenales grandes conocidos, mientras que$L$no es. Además,$HOD$lleva un buen orden definible (en tipo de orden ORD), por lo que si$V=HOD$, entonces cualquier clase propia está en biyección con los ordinales. Además,$V=HOD$es equivalente a la afirmación de que hay una biyección (definible) entre$V$y$ORD$. Entonces, al menos en ZFC, esto se caracteriza de manera natural cuando todas las clases adecuadas tienen el mismo tamaño (y es realmente la única forma en que los "tamaños de las clases adecuadas" pueden discutirse libremente en ZFC).

Finalmente, es consistente que$V\ne HOD$, en ese caso$V$y$ORD$tienen una cardinalidad diferente en el sentido ZFC definido anteriormente, y de hecho uno puede arreglar que haya "tamaños" incomparables de clases adecuadas.

La respuesta parece depender de su teoría de conjuntos.

Específicamente, en una publicación de agosto de 2006 ensci.math , Herman Rubin dijo que si$\mathbf{V}=\mathbf{L}$(Universo construible de Goedel), entonces cada clase propia es equipolenta (biyectable con) la clase de todos los ordinales, por lo tanto, equipolentes entre sí, por lo que solo tiene un "tamaño" único de clases adecuadas.

Sin embargo, también dijo que hay modelos de ZFC con diferentes versiones del Axioma de Elección para las clases adecuadas y en algunos de estos no todas las clases adecuadas son equipolentes (incluso si se asume el Axioma de Elección para conjuntos).

Para completar: ¿qué entendemos por equipolencia de las clases adecuadas? Goedel definió la equivalencia de clases propias como sigue: Para clases propias$X$y$Y$,$X\sim Y$si y solo si existe$Z$tal que:

1. $Z$es una relación (contenida en$\mathbf{V}^2$);
2. $Z$es dos veces unario ($Z$tiene un solo valor, al igual que su inversa);
3. el dominio de$Z$es$X$; y
4. El dominio de la inversa de$Z$es$Y$.

Un modelo en el que todas las clases adecuadas son equipolentes es cuando asumimos el "Axioma de elección global", que establece que existe una relación unaria$A$tal que para todos los conjuntos no vacíos$X$, existe$y\in X$tal que$(X,y)\in A$. Esto lo da Goedel en su artículo sobre la consistencia de AC y GCH con ZF. Implica que cualquier clase es equipolente a un segmento inicial de los ordinales, y dado que cualquier segmento inicial propio de los ordinales es un conjunto, una clase propia debe ser equipolente a la clase propia de todos los ordinales, dando como resultado que todas las clases propias son equipolente.