Ejemplos concretos de modelos no estándar de ZFZFZF −−- _Infinity_ +++ /⧸\not _Infinity_

Ya que se sabe que Z F − Infinidad + ¬ Infinity es bi-interpretable con PAG A , parece razonable (posiblemente) inferir que dado que PAG A tiene modelos no estándar, Z F − Infinidad + ¬ Infinity también tendrá modelos no estándar, es decir, tendrá modelos con infinitos elementos (¿conjuntos?). ¿Es posible que alguien construya un ejemplo de un modelo no estándar de Z F − Infinidad + ¬ infinito ? Actualmente estoy leyendo el artículo de Vitezslav Svejdar "Números naturales infinitos: ¿un fenómeno no deseado o un concepto útil?", Y me hizo preguntarme qué correspondía, si acaso, a la noción de "número natural infinito" en un modelo no estándar de Z F − Infinidad + ¬ infinito _ Tal análogo, por supuesto, parecería finito para el modelo construido, por lo que sería bueno que cualquiera que proporcione tal construcción mostrara por qué debería aparecer así (supongo que dado que los 'elementos no estándar' satisfacen los mismos axiomas que los 'elementos estándar' no hay, en el modelo, ningún criterio por el cual distinguirlos). También existe la posibilidad de que la interpretación de PAG A como Z F − Infinidad + ¬ Infinity no admitirá ningún modelo no estándar, por lo que si este es el caso, una prueba de este hecho también sería una respuesta aceptable. Gracias de antemano por cualquier ayuda brindada,

Ciertamente hay modelos no estándar de ZF finito: cada modelo no estándar de PA puede interpretar ZF finito (con la codificación binaria), lo que conduce a un modelo no estándar similar de ZF finito (cuyos ordinales son isomorfos al modelo original no estándar de PA) .
@HenningMakholm: ¿Podría darme un ejemplo concreto de un elemento no estándar del modelo no estándar de finito? Z F ?
x @Thomas: Cada elemento no estándar del modelo PA no estándar original producirá un conjunto no estándar. (El teorema de Tennenbaum parece restringir severamente cuán concretamente se puede describir un modelo no estándar, ya que la interpretación de codificación binaria es definiblemente reversible).
@HenningMakholm: ¿Tiene alguna referencia al teorema de Tennenbaum? ¿De qué manera restringe severamente cuán concretamente se puede describir un modelo no estándar? Entiendo que, relativo a finito Z F , V ω es una clase propia (y en consecuencia, todas las infinitas subclases de V ω también habrá clases adecuadas), pero desde fuera del modelo, ¿el elemento no estándar parecería ser 'infinito', al igual que en el modelo no estándar de PAG A ?
El teorema de Tennenbaum dice que un modelo no estándar de PA no puede tener una operación de suma o multiplicación computable. (Ya que estás leyendo sobre modelos no estándar, pensé que lo habrías encontrado).
Y sí, un elemento no estándar de un modelo ZFfin tendrá que ser "infinito" en el sentido de que se asienta sobre un infinito descendente ∈ -cadena (aunque eso, por supuesto, solo se puede ver desde el exterior).
@HenningMakholm: ¿Qué significa el modelo no estándar de finito? Z F 'ver' cuando 've' el infinito descendiendo ∈ -¿cadena? Además, con respecto al teorema de Tennenbaum, estoy familiarizado con el hecho, pero no sabía que su prueba se atribuyó a Tennenbaum.
@ThomasBenjamin Lo mismo que ve un modelo no estándar de PA: nada. Desde su perspectiva, toda cadena descendente de conjuntos es agradable y finita.
Además, al igual que con PA, no hay un modelo no estándar distinguido: por lo que escribir, por ejemplo, "el modelo no estándar" no tiene sentido. Al igual que con PA, hay muchos modelos no estándar.

Respuestas (1)

Afirmo que si se siente cómodo con los modelos no estándar de PA, entonces debería sentirse cómodo con los modelos no estándar de ZF-Inf+ ¬ Inf (llamemos a esta teoría T).

Suponer METRO es un modelo no estándar de PA. Dejar C ∈ METRO ser no estándar, es decir, METRO piensa C es finito (ya que METRO piensa que todo es finito), pero externamente el conjunto { d ∈ METRO : METRO ⊨ d < C } es infinito. Luego piensa en el elemento a = 2 C + 1 − 1 - es decir, el elemento cuya expansión binaria es una cadena de C -muchos " 1 "s - y vamos a pensar en lo que a representa en la estructura de Ackermann A C k ( METRO ) asignado a METRO (es decir, el modelo de T construido a partir de METRO a través de la codificación habitual de Ackermann).

Recuerda que, básicamente, "elements"= " 1 s en la expansión binaria". Dado que a La expansión binaria de tiene (externamente) infinitamente muchos 1 S, tenemos { b : A C k ( METRO ) ⊨ b ∈ a } es (externamente) infinito. Nuevamente, no hay diferencia entre este fenómeno y la forma habitual en que una teoría como PA (que "piensa que cada elemento es finito") tiene modelos no estándar.

Y tenga en cuenta que, al igual que norte y PAG A - el "modelo estándar" V ω de T es un segmento inicial de cualquier modelo norte de T . Y este hecho "conmuta con la interpretación de Ackermann": los elementos "estándar" de un METRO ⊨ PAG A son exactamente los que codifican los elementos "estándar" de los asociados A C k ( METRO ) . La situación es realmente la misma; es solo que estamos condicionados a pensar que los modelos de teorías de conjuntos son más complicados que los modelos de aritmética.

Y, para abordar su pregunta del título, al igual que para PA, no vamos a tener ningún modelo no estándar "agradable", según el teorema de Tennenbaum. Usamos la otra dirección de la codificación de Ackermann: dado que ZF-Inf prueba que norte satisface PA, asociado a cualquier modelo V de ZF-Inf tenemos un modelo k C a ( V ) de AP. Restrinja la atención a los modelos de la teoría más fuerte T=ZF-Inf+ ¬ inf; entonces k C a ( V ) es no estándar iff V no era estándar. Modelos no estándar de T van a ser exactamente tan difíciles de describir como los modelos no estándar de PA.

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