Comparación del espacio de Banach dual con la topología normal y la topología débil*

Un conjunto abierto subbásico de los débiles.$^\ast$topología es de la forma$O(v,\epsilon):=\{f \in V': |f(v)| < \epsilon\}$(para algunos$v \in V, \epsilon>0$y así para cada$f \in O(v,\epsilon)$, tenemos$f \in B_d(f, \epsilon) \subseteq O(v, \epsilon)$, dónde$d$es la norma del operador superior y, por lo tanto, cada débil$^\ast$conjunto abierto es operador-norma abierta. Exactamente como sugiere el nombre, los débiles$^\ast$la topología es más débil que la topología estándar en$V'$y estrictamente más débil para infinitas dimensiones$V$, por el teorema de Banach-Alaoglu (y el hecho de que un espacio de Banach es localmente compacto si es de dimensión finita). Entonces$V'$casi nunca habrá un espacio de Banach en los débiles$^\ast$topología (sólo si$V \simeq V' \simeq \Bbb R^n$para algunos$n \in \Bbb N$).

Cada$weak^{*}$conjunto abierto es abierto en la topología normal. Estas dos topologías coinciden si el espacio es de dimensión finita.$V'$con$weak^{*}$topología es un espacio de Banach iff$V$es de dimensión finita. [Esta es una consecuencia fácil del Teorema de Banach Alaoglu].