Subespacios de un espacio vectorial topológico

Tengo algunas preguntas sobre espacios topológicos que estoy estudiando actualmente. Primero algunas definiciones que estoy usando:

Definición de topología de subespacio: dado un espacio topológico ( X , τ ) y un subconjunto S de X , la topología del subespacio en S es definido por τ S = { S ∩ tu : tu ∈ τ } .

Definición de subespacio lineal: utilizo la definición habitual, contiene el vector cero y cerrado bajo suma y multiplicación escalar.

Definición de espacio vectorial topológico: Un espacio vectorial X sobre un campo k que está dotado de una topología tal que la suma de vectores X × X → X y multiplicación escalar k × X → X son funciones continuas (donde X × X dotado de topología de producto).

Preguntas:

  1. ¿Por qué el espacio vectorial topológico se define de esta manera?
  2. ¿Es un subespacio lineal en un espacio vectorial topológico (por ejemplo, un espacio normado) automáticamente un subespacio del espacio vectorial topológico o requiere propiedades adicionales?
  3. ¿Un subespacio de un espacio vectorial topológico satisface la definición de subespacio como se establece en mi primera definición? ¿Cómo mostraría esto?
  4. Considere un espacio vectorial normado X y un subconjunto W . si dotamos W con una norma diferente a la de X entonces cuales son los requisitos necesarios para W ser un subespacio de X ?

¡Muchas gracias por cualquier ayuda!

Respuestas (2)

Estás usando la palabra 'subespacio' para significar dos cosas diferentes. Cuando hablamos de la 'topología del subespacio', solo nos referimos a dotar a cualquier subconjunto del espacio topológico X con una topología que lo convierte en un espacio topológico (por lo tanto, subespacio). Sin embargo, la definición de subespacio lineal es "subespacio cerrado bajo las operaciones del álgebra lineal", es decir, un subespacio de un espacio vectorial . Ahora, un espacio vectorial topológico es dos cosas a la vez, pero sobre todo, siempre queremos que sea un espacio vectorial. Entonces, cuando decimos el subespacio de un espacio vectorial topológico, lo decimos en ambos sentidos a la vez: es un subespacio (en el sentido del álgebra lineal) dotado de la topología del subespacio (convirtiéndolo en un espacio topológico), por lo que un subespacio de un espacio vectorial topológico es también un espacio vectorial topológico.

Re: #4: Cuando hablamos de un subespacio de un espacio vectorial topológico, estamos dotando específicamente a un subespacio lineal con la topología del subespacio, por lo que si la nueva norma induce una topología diferente, es solo otro espacio vectorial topológico, sin mención de nuestro original.

Gracias por su respuesta. Un par de preguntas: Entonces, ¿obtienes subespacios vectoriales de espacios vectoriales topológicos que no son subespacios vectoriales topológicos? ¿Tienes un ejemplo con espacios normados? ¿Por qué el espacio vectorial topológico se define de la forma en que la función X × X → X y X × k → X son continuos con respecto a la topología del producto?
No exactamente. La diferencia entre las dos definiciones es que un subespacio vectorial tiene que satisfacer ciertas propiedades para ser un subespacio vectorial, cerrado bajo suma y multiplicación escalar. Pero un subespacio de un espacio topológico no es algo que satisfaga propiedades, simplemente elegimos un subconjunto y le dimos una topología. Una vez que elige un subespacio vectorial, "automáticamente" obtiene una topología del espacio topológico más grande.
veo que si ¿Quizás sabes por qué los espacios vectoriales topológicos se definen de esta manera? y se especifica en la definición que k es un campo topológico, sin profundizar mucho en la teoría de los campos, ¿puede considerarse esto simplemente como la línea real con la topología habitual que tiene como base { ( a , b ) : b > a  para  a , b ∈ R } ) ?
Queremos que un espacio vectorial topológico se defina de esta manera porque queremos que sus operaciones (multiplicación escalar y suma) sean continuas; ¡esto nos da acceso a todas las herramientas de topología Y todas las herramientas de álgebra lineal!
No estoy seguro de entender tu segunda pregunta; es posible que desee expandirlo en una pregunta completa y publicarlo por separado.
Está bien, eso haré, gracias. ¿Puede pensar en un ejemplo de un espacio vectorial con una topología definida que no sea un espacio vectorial topológico?
Claro: considere la topología de complemento finito (un conjunto es cerrado si tiene un número finito de elementos). Te dejo que demuestres que eso no es continuo (busca un conjunto abierto cuya imagen inversa no esté abierta).

Como ya resaltó el respondedor anterior, hay varias cosas en juego aquí. Tome un subespacio lineal de un espacio vectorial topológico. Con esto nos referimos a un conjunto cerrado de combinaciones lineales finitas. Luego dotelo con la topología del subespacio (este es un ejemplo de topología inicial; automáticamente lo convierte en un espacio topológico https://en.wikipedia.org/wiki/Initial_topology ). Ahora tienes dos estructuras en tu subconjunto:

  • Un subespacio lineal
  • Un espacio topológico

¿Qué hace que un espacio vectorial topológico sea especial? La compatibilidad de estas dos estructuras, es decir:

  • continuidad de la operación de adición
  • continuidad de la multiplicación escalar

Pero dado que la restricción de un mapa continuo es un mapa continuo ( https://proofwiki.org/wiki/Restriction_of_Continuous_Mapping_is_Continuous ). La continuidad de la suma vectorial y la multiplicación escalar da la continuidad de estas operaciones en su subespacio lineal. Convirtiéndolo así en un espacio vectorial topológico. Observe cómo la linealidad del subespacio juega un papel importante ya que nunca "salimos" del espacio cuando realizamos sumas o multiplicaciones. ¡Espero que esto ayude!

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