Punta de un paquete de ondas en expansión: asintótica más allá de todos los órdenes de una expansión de punto de silla

Esta es una pregunta técnica que surge del mapeo de un problema no relacionado con la dinámica de una partícula masiva no relativista en dimensiones 1+1. Este problema es con las asintóticas dominadas por un término más allá de todos los órdenes de una expansión de punto de silla (términos singulares de una serie asintótica), como en el problema de la vida útil de un estado ligado en un acoplamiento negativo 1+0 ϕ 4 modelo de juguete

Considere una partícula con una función de onda inicial (normalizada)

ψ 0 ( X ) = mi − ( X + mi − X ) / 2
Esta forma específica define una unidad natural para X , tenga en cuenta las asintóticas doble exponencial de ψ 0 ( X ) como X → − ∞ .

Evolución temporal bajo el hamiltoniano H = − 1 2 ∂ X 2 transforma la función de onda en (usando el propagador de libros de texto )

ψ ( X , t ) = ( 2 π i t ) − 1 / 2 ∫ mi i ( X − X ′ ) 2 / ( 2 t ) ψ 0 ( X ′ ) d X ′

Mi pregunta es sobre las asintóticas de esta integral , especialmente el frente principal que se propaga hacia la izquierda. Aquí es donde me he topado con la pared:

La expansión del punto de silla en t − 1 da

t | ψ ( X , t ) | 2 ∼ mi − mi − X [ 1 + ( mi 3 X − 2 mi 2 X ) t − 1 / 8 + O ( t − 2 ) ]
que converge muy bien (comprobado numéricamente) para X ≳ 1 , pero no logra capturar los términos del pedido mi X / t que dominan sobre la doble exponencial en negtavie X .

Para t → + ∞ la solución se vuelve simétrica,

| ψ ( X , t → ∞ ) | 2 = 1 t aporrear ⁡ ( π X / t )

Cualquier idea/sugerencia será apreciada.

EDITAR: El resultado se ha utilizado en una publicación: Phys. Rev. Lett. 109, 216801 (2012) ; versión de acceso abierto , ver Eq. (9).

Error tipográfico menor en la pregunta (v3): La raíz cuadrada ( 2 π i t ) 1 / 2 en la segunda fórmula debe estar en el denominador.
@Qmechanic Gracias, ¡arreglé esto! Soy propenso a errores tipográficos :(

Respuestas (1)

Después de un poco de lucha y una pista útil de un colega, el problema finalmente se solucionó:

  1. Ir al espacio de impulso da

    ψ 0 k = ∫ ψ 0 ( X ) mi i k X d X = 2 − i k + 1 / 2 Γ ( − i k + 1 / 2 )

  2. Aplicando la evolución temporal con H = k 2 / 2 da

    ψ ( X , t ) = 1 2 π ∫ mi − i k 2 t / 2 − i k X ψ 0 k d k

  3. usando grandes- z Expansión asintótica para Γ ( z + 1 ) e identificar un punto de fase estacionaria cerca k ≈ − X / t dan el orden principal que coincide con las asintóticas de t ≫ 1 solución:

    ψ ( X , t ) ∼ ( 2 / t ) mi π X / t

  4. Finalmente, el prefactor se recupera manteniendo todos los registros principales en la expansión de Γ ( z + 1 ) y resolviendo el punto estacionario usando la función Lambert W (para la cual Mathematica maneja muy bien las asintóticas ), da la respuesta final

    ψ ( X , t ) = ( 2 / t ) mi π X / t ( − 2 X / t ) π / t + O ( t 1 + ϵ )
    con ϵ > 0 , valido para X ≪ − t ambos para t largo y pequeño.

Gracias a todos los que prestaron atención y ayudaron con consejos.

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