Acabo de calificar la publicación de David Bar Moshe (a continuación ) como una "respuesta", por la cual se agradece y aprecia.
No obstante, hay más que decir, y con la esperanza de estimular más publicaciones, he agregado material de antecedentes adicional. En particular, resulta que un artículo de 2003 de Bloch, Golse, Paul y Uribe " Operadores Toda y Toeplitz sin dispersión " incluye construcciones que ilustran algunas (pero no todas) de las técnicas de cuantización solicitadas, según la discusión adicional a continuación.
La pregunta que se hace es:
¿Cómo se cuantifican geométricamente las ecuaciones de Bloch?
Desde un punto de vista geométrico, la esfera de Bloch es la variedad simpléctica más simple (clásica) y las ecuaciones de Bloch para espines acoplados a dipolos especifican la dinámica hamiltoniana no trivial más simple (clásica).
Al aprender métodos modernos de cuantización geométrica, como se describe de manera abstracta en el artículo Cuantificación geométrica de Wikipedia, por ejemplo, sería muy útil (para un no experto como yo) ver las ecuaciones cuánticas hamiltonianas para espines interactivos derivadas de las ecuaciones hamiltonianas clásicas.
Hasta la fecha, las búsquedas de palabras clave en el servidor Arxiv y en Google Books no han encontrado tal exposición. ¿Significa que hay una obstrucción para cuantificar geométricamente las ecuaciones de Bloch? Si es así, ¿qué es? Alternativamente, ¿alguien puede señalar una referencia de tutorial?
¡Cuantos más detalles se den, y cuanto más elemental sea la exposición, mejor! :)
Es natural en la ingeniería de sistemas cuánticos hacer retroceder la dinámica hamiltoniana cuántica en espacios de estado de red de tensores de dimensión cada vez más baja (técnicamente, estos espacios de estado son una estratificación de variedades secantes de variedades de Segre ).
También debe apreciarse que, en este contexto, la "dinámica hamiltoniana cuántica" incluye desentrañamientos estocásticos de los procesos de medición y control de Lindbladian (según estas notas en línea de Carlton Caves ). La presentación de las trayectorias desenredadas en forma de Stratonivich permite que la dinámica cuántica abierta de los procesos generales de Lindblad se retraiga con la misma naturalidad geométrica que la dinámica cuántica cerrada de los potenciales hamiltonianos y las formas simplécticas. Este lenguaje de retroceso de Lindbladian está ausente de las discusiones matemáticas de cuantización geométrica, por ejemplo,</> el artículo antes mencionado de Bloch et al. . En esencia, los ingenieros estamos utilizando estas técnicas de retroceso con buen éxito, sin tener una comprensión completa o incluso geométricamente natural de ellas.
Retrocediendo a través de sucesivos espacios de estado de dimensionalidad cada vez más pequeña, llegamos (como era de esperar) a un espacio de estado más interno que es un producto tensorial de las esferas de Bloch que hereda su estructura simpléctica (clásica) del espacio inicial de Hilbert. Además, los procesos de Lindblad retroceden (como era de esperar) al ruido clásico y la reacción inversa que respeta el límite cuántico estándar.
Por múltiples razones de ingeniería de sistemas , nos gustaría entender esta estratificación hacia adelante y hacia atrás, en el siguiente sentido geométricamente literal: en cualquier espacio de estado de esta estratificación, deseamos la opción dual de retrotraer la dinámica a un estado más clásico -espacio, o empujando hacia adelante la dinámica hacia un espacio de estado más cuántico.
En la medida de lo posible, la esperada descripción de la (des/re)cuantificación geométrica iluminará esta dualidad en ambas direcciones. No hace falta decir que cuanto más simple y geométrica/informáticamente natural sea la descripción de esta dualidad, mejor (reconociendo que esta naturalidad es mucho que esperar). :)
He escrito una respuesta a Mathoverflow en la que las fórmulas explícitas para los hamiltonianos clásicos y cuánticos de un sistema de espín (Generadores de fueron escritas explícitamente. Los hamiltonianos clásicos se dan mediante funciones sobre las dos esferas y los hamiltonianos cuánticos mediante operadores diferenciales holomorfos (que actúan sobre las secciones del haz cuántico de líneas). Para muchos sistemas de espín con un hamiltoniano lineal en cada espín, uno solo tiene un hamiltoniano de una partícula distinta por espín. Perdón por referirme a mi propio trabajo, pero de ninguna manera es original.
qubyte